Barisan Cauchy

Secara sederhana, barisan Cauchy adalah suatu barisan semakin lama jarak antara suku-sukunya semakin kecil. Secara formal didefinisikan sebgai berikut

Definsi: Suatu barisan X=\left(x_{n}\right) didalam bilangan real dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap \epsilon >0 terdapat bilangn asli k_\epsilon sedemikan hingga untuk setiap bilangan asli  n,m>k_{\epsilon} berlaku \left|x_{n}-x_{m}\right|<\epsilon

Jadi suatu barisan dikatakan barisan Cauchy jika setelah suku ke-k_\epsilon maka  jarak suku yang satu dengan yang lainnya akan selalu kurang dari \epsilon. Bagaimana menentukan k_\epsilon? Itu tergantung dari nilai \epsilon yang kita pilih.

Contoh: Buktikan barisan \left(1/n\right) merupakan barisan Cauchy

Ambil sebarang bilangan real \epsilon >0, nah kita harus mencari bilangan asli k_\epsilon sehingga untuk sebarang bilanga asli n,m>k_{\epsilon} berlaku \left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\epsilon

Ambil saja k_{\epsilon}>2/\epsilon. Jika n,m>k_{\epsilon} maka \frac{1}{n}<\frac{1}{k_{\epsilon}} dan \frac{1}{m}<\frac{1}{k_{\epsilon}}. Diperoleh

\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\frac{2}{k_{_{\epsilon}}}<\epsilon

Sifat-Sifat barisan Cauchy:

  1. Setiap barisan cauchy terbatas
  2. Suatu barisan adalah konvergen jika hanya jika merupakan barisan Cauchy.

Dari sifat 2, kita mengetahui satu hal: Jika suatu barisan konvergen ke L maka semakin mendekati L jarak antra suku-sukunya akan semakin kecil

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Barisan Cauchy

  1. naaa says:

    mau tanya, sebenarnya perbedaan antara barisan konvergen dan barisan cauchy itu apa ? saya masih bingung ,. karena untuk barisan cauchy xn-xm < eps , sedangkan abrisan konvergen xn-x < eps .

  2. (-1)^n bukan barisan cauchy, Lihat definisi..

  3. rezi says:

    kalo (-1)^n adlah barisan cauchy apa bukan y ?

  4. Azka Creates says:

    Tapi menurut dosenq tdk semua barisan cauchy itu konvergen

    • Aria Turns says:

      Teorema: Suatu barisan adalah konvergen jika hanya jika merupakan barisan cauchy .
      Hanya berlaku di himpunan bilangan real, di ruang lain belum tentu berlaku
      Contoh; Didefinsiskan barisan pada \mathbb{Q} sebagai berikut
      3/1, 31/10, 314/100,…..
      Barisan tersebut Caucy tetapi tidak konvergen di himp bilangan rasional, karena limitnya adalah \pi kita tahu \pi adalah irasional

Leave a Reply to rezi Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s