one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics
Ucapan dari Michael Steele yang menunjukan betapa pentingnya pertidaksamaan Cauchy–Schwarz pada Matematika. Pertidaksamaan ini dipakai oleh Aljabar linier, Analisis dan Teori Probabilitas. Sebelum saya membahas pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, saya akan membahas sekilas tentang inner product.
inner product
Ada yang menerjemahkan inner product dengan hasil kali dalam tapi kali ini saya mengunakan istilah aslinya tidak diterjemahkan. Nah.. inner product merupakan genrealisasi dari dot product. Kalau dot product hanya berlaku pada ruang euclid maka Inner Product selain berlaku pada ruang euclid juga berlaku pada ruang vektor atas bilangan kompleks.
Definsi: Suatu Inner product pada ruang vektor atas lapangan
merupakan pemetaan
untuk sebarang dan
berlaku aksioma-aksioma sebagai berikut:
dan akan sama dengan nol jika hanya jika
dengan
merupakan konjugate kompleks
Dari aksioma-aksioma diatas kita memperoleh sifat-sifat sebgai berikut:
Nah..sekarang mari kita bahas pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
Diberikan ruang vektor atas lapangan
dan
, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz menyatakan
dengan adalah modulus bilangan kompleks
Bukti:
Diberikan ruang vektor atas lapangan
yang dilengkapi dengan inner product. Ambil sebarang
dan
. Berdasarkan aksioma ke-1 dari inner product diperoleh
kita jabarkan sisi kanan dipeoleh
Gunakan aksioma ke-2 dan sifat ke-1 dari inner product diperoleh
subtitusi diperoleh
(Ingat: didalan bilangan kompleks )
QED
pertidaksamaan Cauchy–Schwarz juga ditulis sebagai berikut
dengan mendefinsikan norm vektor .
Didalam ruang euclid dengan inner productnya adalah dot product maka pertidaksamaan Cauchy–Schwarz menjadi:
PS: Ini tulisan saya pertama di tahun 2011, so selamat tahun baru 🙂
Kata Bu Sri Wahyuni, teorema ini sangat bermanfaat untuk mendefinisikan suatu sudut. Iya g mas? hehe… Kalau diberikan dua buah vektor pada ruang vektor
atau yang lebih besar dimensinya, kita dapat merepresentasikan vektor tersebut dalam bentuk segmen garis berarah, jadi kita bisa definisikan sudutnya. Nah, bagaimana mendefinisikan sudut antara dua buah vektor pada ruang vektor yang isinya adalah fungsi-fingsi kontinu? Bingung pasti kalau hatus menentukan sudut antara dua buah fungsi. Teorema ini tugasnya, salah satunya, bisa menjelaskan sudut dalam suatu ruang vektor. ^^
mungkin link berikut membantu http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/MATH-232/Unit.7/Presentation.2/Section7A/angles.html
Siap! Ok mas meluncur… tp bsk pagi… ini ad tgs ttg gram smi
maaf mas sya mau nanya sama engga pembuktian diatas sama pembuktian yang ini : |x.y|≤‖x‖.‖y‖
Yup..sama
kalo untuk pembuktian pertidaksamaan lagrange ada ga?
kan inner product space dengan inner product mas. nah, kalo inner product aja apakah beda dengan inner produk space?
inner product itu pemetaan 2 vektor ke bilangan kompleks sedangkan inner product space adalah ruang vektor yang dilenggkapi dengan inner product
owh befitu ya mas, Alhamdulillah, tercerahkan lagi. makasih lagi mas. 🙂
beda ya mas dengan inner product space?
tapi setahu saya, yang didefinisikan di atas itu adalah inner product space (ruang hasil kali dalam). mohon penjelasannya, karena saya sendiri kurang begitu faham. 🙂
beda dengan apa maksudmu? Ya.. itukan emang inner product
salam kenal mas.. saya singgih..mas saya mau nanya ruang euclid tuh apa ya???terus simbol klo diuraikan tuh seperti apa??klo bisa kasih contoh mas??thank…lagi belajar analisis dasar mas…^_^
Ruang euclid itu adalah vektor
, vektor atas bilangan real.
Simbol? maksudmu simbol apa?
tq
manfaat praktisnya apa tuh bro? (hehe. maklum, pemula, butuh motivasi praktis. 🙂 )
Untuk aplikasinya silahkan lihat disini
http://cnx.org/content/m10757/latest/