one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics

Ucapan dari Michael Steele yang menunjukan betapa pentingnya pertidaksamaan Cauchy–Schwarz pada Matematika. Pertidaksamaan ini dipakai oleh Aljabar linier, Analisis dan Teori Probabilitas. Sebelum saya membahas pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, saya akan membahas sekilas tentang inner product.

inner product

Ada yang menerjemahkan inner product dengan hasil kali dalam tapi kali ini saya mengunakan istilah aslinya tidak diterjemahkan. Nah.. inner product merupakan genrealisasi dari dot product. Kalau dot product hanya berlaku pada ruang euclid maka Inner Product selain berlaku pada ruang euclid juga berlaku pada ruang vektor atas $\mathbb{C}$ bilangan kompleks.

Definsi: Suatu Inner product pada ruang vektor $V$ atas lapangan $\mathbb{C}$ merupakan pemetaan

$\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{C}$

untuk sebarang $x,y,z\in V$ dan $\alpha \in \mathbb{C}$ berlaku aksioma-aksioma sebagai berikut:

$\left\langle x,x\right\rangle \geq0$ dan akan sama dengan nol jika hanya jika $x=0$
$\left\langle \alpha x,y\right\rangle =\alpha\left\langle x,y\right\rangle$
$\left\langle x+y,z\right\rangle =\left\langle x,z\right\rangle +\left\langle y,z\right\rangle$
$\left\langle x,y\right\rangle =\overline{\left\langle y,x\right\rangle }$ dengan $\overline{z}$ merupakan konjugate kompleks

Dari aksioma-aksioma diatas kita memperoleh sifat-sifat sebgai berikut:

$\left\langle x,\alpha y\right\rangle =\overline{\left\langle \alpha y,x\right\rangle }=\overline{\alpha}\overline{\left\langle y,x\right\rangle }=\overline{\alpha}\left\langle x,y\right\rangle$
$\left\langle x,y+z\right\rangle =\overline{\left\langle y+z,x\right\rangle }=\overline{\left\langle y,x\right\rangle }+\overline{\left\langle z,x\right\rangle }=\left\langle x,y\right\rangle +\left\langle x,z\right\rangle$

Nah..sekarang mari kita bahas pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Diberikan ruang vektor $V$ atas lapangan $\mathbb{C}$ dan $x,y,\in V$ , pertidaksamaan Cauchy–Schwarz menyatakan

$\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left\langle x,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle$

dengan $\left|\cdot\right|$ adalah modulus bilangan kompleks

Bukti:

Diberikan ruang vektor $V$ atas lapangan $\mathbb{C}$ yang dilengkapi dengan inner product. Ambil sebarang $x,y,\in V$ dan $\alpha\in\mathbb{C}$ . Berdasarkan aksioma ke-1 dari inner product diperoleh

$0\leq\left\langle x-\alpha y,x-\alpha y\right\rangle$

kita jabarkan sisi kanan dipeoleh

$0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,\alpha y\right\rangle -\left\langle \alpha y,x\right\rangle +\left\langle \alpha y,\alpha y\right\rangle$

Gunakan aksioma ke-2 dan sifat ke-1 dari inner product diperoleh

$0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\overline{\alpha}\left\langle x,y\right\rangle -\alpha\left\langle y,x\right\rangle +\alpha\overline{\alpha}\left\langle y,y\right\rangle$

subtitusi $\alpha=\left\langle x,y\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle ^{-1}$ diperoleh

$0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,y\right\rangle \left\langle y,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle ^{-1}$

$0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,y\right\rangle \overline{\left\langle x,y\right\rangle }\left\langle y,y\right\rangle ^{-1}$

$0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\left\langle y,y\right\rangle ^{-1}$

(Ingat: didalan bilangan kompleks $\left|z\right|^{2}=z\overline{z}$ )

$0\leq\left\langle x,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle -\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}$

$\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left\langle x,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle$

QED

pertidaksamaan Cauchy–Schwarz juga ditulis sebagai berikut

$\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\leq\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert$

dengan mendefinsikan norm vektor $\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }$ .

Didalam ruang euclid $\mathbb{R}^{n}$ dengan inner productnya adalah dot product maka pertidaksamaan Cauchy–Schwarz menjadi:

$\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$

PS: Ini tulisan saya pertama di tahun 2011, so selamat tahun baru 🙂

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

16 Responses to Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Tanakka Morrchi says:

May 20, 2014 at 20:20

Kata Bu Sri Wahyuni, teorema ini sangat bermanfaat untuk mendefinisikan suatu sudut. Iya g mas? hehe… Kalau diberikan dua buah vektor pada ruang vektor $\mathbb{R}^2$ atau yang lebih besar dimensinya, kita dapat merepresentasikan vektor tersebut dalam bentuk segmen garis berarah, jadi kita bisa definisikan sudutnya. Nah, bagaimana mendefinisikan sudut antara dua buah vektor pada ruang vektor yang isinya adalah fungsi-fingsi kontinu? Bingung pasti kalau hatus menentukan sudut antara dua buah fungsi. Teorema ini tugasnya, salah satunya, bisa menjelaskan sudut dalam suatu ruang vektor. ^^

- Aria Turns says:
  
  May 21, 2014 at 21:45
  
  mungkin link berikut membantu http://thejuniverse.org/PUBLIC/LinearAlgebra/MATH-232/Unit.7/Presentation.2/Section7A/angles.html
  
  - Tanakka Morrchi says:
    
    May 21, 2014 at 21:51
    
    Siap! Ok mas meluncur… tp bsk pagi… ini ad tgs ttg gram smi
    
Ramlah Hidayat says:

April 8, 2013 at 17:22

maaf mas sya mau nanya sama engga pembuktian diatas sama pembuktian yang ini : |x.y|≤‖x‖.‖y‖

- Aria Turns says:
  
  April 8, 2013 at 20:55
  
  Yup..sama
  
  - Ramlah Hidayat says:
    
    April 9, 2013 at 15:14
    
    kalo untuk pembuktian pertidaksamaan lagrange ada ga?
    
Abdulloh says:

August 27, 2012 at 08:32

kan inner product space dengan inner product mas. nah, kalo inner product aja apakah beda dengan inner produk space?

- Aria Turns says:
  
  August 28, 2012 at 06:11
  
  inner product itu pemetaan 2 vektor ke bilangan kompleks sedangkan inner product space adalah ruang vektor yang dilenggkapi dengan inner product
  
  - Abdulloh says:
    
    August 29, 2012 at 11:40
    
    owh befitu ya mas, Alhamdulillah, tercerahkan lagi. makasih lagi mas. 🙂
    
aab says:

August 26, 2012 at 04:03

beda ya mas dengan inner product space?
tapi setahu saya, yang didefinisikan di atas itu adalah inner product space (ruang hasil kali dalam). mohon penjelasannya, karena saya sendiri kurang begitu faham. 🙂

- Aria Turns says:
  
  August 27, 2012 at 07:49
  
  beda dengan apa maksudmu? Ya.. itukan emang inner product
  
singgih says:

January 11, 2011 at 08:33

salam kenal mas.. saya singgih..mas saya mau nanya ruang euclid tuh apa ya???terus simbol klo diuraikan tuh seperti apa??klo bisa kasih contoh mas??thank…lagi belajar analisis dasar mas…^_^

- Aria Turns says:
  
  January 11, 2011 at 10:56
  
  Ruang euclid itu adalah vektor $\mathbb{R}^n$ , vektor atas bilangan real.
  Simbol? maksudmu simbol apa?
  
Api Kecil says:

January 9, 2011 at 01:40

tq

Api Kecil says:

January 6, 2011 at 18:33

manfaat praktisnya apa tuh bro? (hehe. maklum, pemula, butuh motivasi praktis. 🙂 )

- Aria Turns says:
  
  January 7, 2011 at 06:53
  
  Untuk aplikasinya silahkan lihat disini
  http://cnx.org/content/m10757/latest/