2Z dan 3Z tidak isomorphic

Posted on January 5, 2011 by Nursatria

Sebulan yang lalu, Uha, adik angkatan saya bertanya

Bagaimana membuktikan 2 buah gelanggang 2\mathbb{Z} dan 3\mathbb{Z} tidak isomorphic

Sebenernya saya sudah menjawab pertanyaannya. Akan tetapi setelah saya membaca kembali jawaban saya, sepertinya jawaban saya tersebut kurang tepat. Oleh karena itu saya akan merevisi jawaban saya tersebut disini.

Isomorphic

Dua buah gelanggang R dan S dikatakan isomorphic jika terdapat gelanggang isomorfisma \varphi diantara keduanya

\varphi:R\rightarrow S

Apa itu gelanggang Isomorfisma?

Gelanggang isomorfisma  \varphi dari gelanggang R ke gelanggang S adalah sebuah pemetaan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut

  1. \varphi\left(a+b\right)=\varphi\left(a\right)+\varphi\left(b\right) untuk semua a,b\in R
  2. \varphi\left(ab\right)=\varphi\left(a\right)\varphi\left(b\right) untuk semua a,b\in R
  3. \varphi\left(1\right)=1 jika hanya jika kedua gelanggang mempunyai elemen satuan 1
  4. \varphi bijektive

Kontradiksi

Pada umumnya untuk menunjukan 2 buah gelanggang tidak isomorphic dengan cara kontradiksi. Kita asumsikan 2 struktur tersebut isomorphic atau dengan kata lain terdapat gelanggang Isomorfisma  lalu kita tunjukan hal tersebut mustahil

Okey..sekarang mari kita jawab pertanyaannya

Asumsi terdapat  gelanggang isomorfisma dari 2\mathbb{Z} dan 3\mathbb{Z}

f:2\mathbb{Z}\rightarrow3\mathbb{Z}.

Itu berarti f\left(2\right)=3n untuk suatu bilanagn bulat n. Kita gunakan aksioma ke-1 dan ke-2 pada gelanggang Isomorfisma diperoleh

f\left(4\right)=f\left(2\cdot2\right)=3n\cdot3n

f\left(4\right)=f\left(2+2\right)=3n+3n

diperoleh persamaan

3n3n=3n+3n

9n^2=6n

Dengan mudah kita ketahui hanya terdapat satu solusi yaitu n=0. Itu berarti

f\left(2\right)=f\left(4\right)=0

Jelas f tidak lah bijektive. Jadi gelanggang isomorfisma f mustahil ada.

Terbukti 2\mathbb{Z} dan 3\mathbb{Z} tidak isomorphic

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to 2Z dan 3Z tidak isomorphic

  1. raji says:
    May 26, 2012 at 14:31

    ndak ngartiiiiii…..hahahaha

    Reply
  2. Uha says:
    January 7, 2011 at 09:53

    Hmm, siph2… Tapi apakah cukup membuktikan 1 fungsi aja yang ga bijektif trus di simpulin nda isomorf ?? Kan definisinya cuma ada pemetaan bijektif yang memenuhi syarat2 itu, jadi kalo 1 fungsi ga memenuhi kan bisa aja fungsi lain memenuhi,,, sbenernya iseng nanya gara2 jadi grader PSA ^^d

    Reply
    • Aria Turns says:
      January 7, 2011 at 10:48

      Ya..cukuplah, kan saya ambil untuk sebarang f, andaikan ada isomorfimsa f dari 2Z ke 3Z maka f tidak bijektif, padahal salah satu syarat isomorfisma harus bijektif

      Reply
  3. Herry PS says:
    January 6, 2011 at 07:03

    Dalam definisi isomorfisma ring di atas apakah ring R dan S sembarang atau diasumsikan memiliki elemen satuan 1?

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s