Real dan Kompleks mempunyai cardinalitas yang sama

Posted on January 11, 2011 by Nursatria

Kita tahu bahwa himpunan bilangan real \mathbb{R} merupakan himpuan bagian dari himpuan bilagan kompleks \mathbb{C}. Apakah itu berarti cardinalitas (banyak elemen) pada \mathbb{C} lebih besar dari \mathbb{R}, \mathbb{\left|\mathbb{C}\right|>\left|R\right|}? Kita juga tahu bahwa setiap elemen di \mathbb{C} mempunyai bentuk a+bi untuk sebarang a,b\in\mathbb{R}. Apakah itu berarti  \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|+\left|\mathbb{R}\right|

Tidak, tidak, \mathbb{C} mempunyai cardinalitas yang sama dengan \mathbb{R}, \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|

Kok bisa?

Untuk menujukan 2 himpunan A dan B mempunyai cardinalitas yang sama, kita harus menjukan terdapat  fungsi bijektif dari A ke B. Karena dengan adanya fungsi bijektif, itu berati setiap elemen A dan B dapat dipasang-pasangkan. Akan tetapi untuk menujukan \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right| bukan dengan cara menunjukan terdapat fungsi bijektif dari \mathbb{R} ke \mathbb{C}. Melainkan dengan menujukan I=\left(0,1\right) mempunyai cardinalitas yang sama dengan \widehat{C}=\left\{ a,b\in\left(0,1\right)|a+bi\right\} . Diketahui bahwa \left|I\right|=\left|\mathbb{R}\right|, itu berarti dengan  menunjukan \left|I\right|=\left|\widehat{C}\right|, kita telah menunjukan \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|

Diberikan fungsi f dari I ke \widehat{C}

f:I\rightarrow\widehat{C}

yang didefinsikan sebagai berikut

f\left(0,a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\ldots\right)=0,a_{1}a_{2}\ldots+0,b_{1}b_{2}\ldots i

Contoh

  • f\left(0,32142\right)=0,312+0,24i
  • f\left(0,5\right)=0,5+0i
  • f\left(0,07\right)=0+0,7i

Nah.. selanjutnya tinggal kita buktikanf bijektif. Errr… kalian buktikan aja sendiri yach, mudah kok 🙂

Nah.. telah kita tunjukan bahwa \left|I\right|=\left|\widehat{C}\right|, itu berarti terbukti \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in himpunan and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s