euclidean topologi

Posted on January 27, 2011 by Nursatria

Saya kembali membahas Topologi.  Kali ini saya mau membahas topologi pada himpunan bilangan real \mathbb{R}, yang disebut dengan euclidean topologi.

Definisi: Himpunan bagian S dari \mathbb{R} dikatakan terbuka dalam euclidean topologi pada \mathbb{R} jika memenuhi sifat

(*) untuk setiap x\in S terdapat a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b sedemikian hingga x\in\left(a,b\right)\subseteq S.

Selanjut akan kita tunjukan Euclidean Topologi \tau adalah topologi, dengan kata lain memenuhi aksioma-aksioma topologi. Sedikit mengingatkan aksioma-aksioma topologi adalah:

Definisi: Diberikan humpunan tak-kosong X, suatu koleksi \tau yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari X dikatakan topologi pada X, jika memenuhi

(i) X dan himpunan kosong \emptyset termuat didalam \tau

(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di \tau termuat di \tau pula

(iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di \tau berada di \tau pula

Pasangan \left(X,\tau\right) dikatakan ruang topologi

Pertama-tama kita tunjukan \mathbb{R}\in\tau, ambil sebarang x\in\mathbb{R} lalu jika kita ambil a=x-1 dan b=x+1 maka x\in\left(a,b\right)\subseteq\mathbb{R}. Terbukti \mathbb{R} memenuhi sifat (*).Kedua, Jelas \emptyset\in\tau kerana \emptyset pastilah termuat disebarang \left(a,b\right).

Selanjutnya dibentuk  \cup_{i\in I}A_{i} gabungan elemen-elemen di \tau. Akan dibuktikan \cup_{i\in I}A_{i} memiiliki sifat (*). Ambil sebarang x\in\cup_{i\in I}A_{i}, itu berati x\in A_{k} untuk suatu A_{k}\in\tau. Karena A_{k}\in\tau maka terdapatt a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b sedemikian hingga x\in\left(a,b\right)\subseteq A_{k}. Karena A_{k}\subseteq\cup_{i\in I}A_{i} Itu berati x\in\left(a,b\right)\subseteq\cup_{i\in I}A_{i}.

Terakhir, ambil A_{1},A_{2}\in\tau, akan dibuktikan  A_{1}\cap A_{2}\in\tau. Misakan y\in A_{1}\cap A_{2}, itu berarti y\in\left(a,b\right)\subseteq A_{1} dan y\in\left(c,d\right)\subseteq A_{2}. Ambil e bilangan yang lebih besar dari a dan b serta f bilangan yang lebih kecil dari b dan d. Dengan mudah diketahui e<y<f, diperoleh y\in\left(e,f\right). Karena \left(e,f\right)\subseteq\left(a,b\right)\subseteq A_{1} dan \left(e,f\right)\subseteq\left(c,d\right)\subseteq A_{2} maka y\in\left(e,f\right)\subseteq A_{1}\cap A_{2}.

Terbukti Euclidean Topologi merupakan topologi.

Dari apa yang telah kita bahas, dengan mudah kita ketahui setiap interval terbuka pada \mathbb{R} merupakan himpunan terbuka tetapi belum tentu sebaliknya belum tentu himpunan terbuka merukan interval. Contoh: \left(3,8\right)\cup\left(12,19\right) merupakan himpunan terbuka tetapi bukan interval.

Okey, selanjutnya kita bahas himpunan tertutup pada Euclidean Topologi.

Himpunan tertutup pada Euclidean Topologi

  • Untuk sebarang a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b, interval tertutup \left[a,b\right] merupakan himpunan tertutup

Bukti: Untuk membuktikan suatu himpunan adalah tertutup adalah dengan membuktikan komplement-nya terbuka. Komplement dari \left[a,b\right] adalah \left(-\infty,a\right)\cup\left(b,\infty\right) gabungan 2 himpunan terbuka adalah terbuka.

  • Setiap singgleton \left\{ a\right\} merupakan himpunan tertutup.

Bukti: komplement dari singgleton \left\{ a\right\} adalah gabungan 2 himpuan terbuka \left(-\infty,a\right)\cup\left(a,\infty\right).

  • Himpunan bilangan bulat \mathbb{Z} merupakan himpunan tertutup.

Bukti: Komplomen dari \mathbb{Z} adalah \cup_{n=-\infty}^{\infty}\left(n,n+1\right), gabungan semua himpunan \left(n,n+1\right)  terbuka

  • Himpuan bilangan rasional \mathbb{Q} tidak terbuka atau tidak tertutup.

Bukti: Untuk membuktikannya, kita menggunakan fakta didalam himpunan bilangan real bahwa untu sebarang a,b\in\mathbb{R}, dengan a<b terdapat bilangan rasional q dan bilangan irasional p sedemikian hingga a<q<b dan a<p<b.

Untuk membuktikan \mathbb{Q} terbuka, kita harus membuktikan \mathbb{Q} tidak mempunyai sifat (*).  Andaikan \left(a,b\right)\subseteq\mathbb{Q} maka terdapat bilangan irsional c sedemikian hingga c\in\left(a,b\right)\subseteq\mathbb{Q} padahal diketahui c\notin\mathbb{Q}. Kontradiksi

Andaikan \mathbb{Q} tertutup maka komplement dari \mathbb{Q} yaitu himpunan bilangan irasional I terbuka, dengan kata lain \left(a,b\right)\subseteq I. Terdapat bilangan rasional q sedemikian hingga q\in\left(a,b\right)\subseteq I padahal diketahui q\notin I. Kontradiksi.

***

Didalam Euclidean Topologi hanya \mathbb{R} dan \emptyset yang merupakan himpunan terbuka-tertutup (Clopen set)

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **

 



Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Topologi and tagged , , , . Bookmark the permalink.

1 Response to euclidean topologi

  1. mampir saja says:
    February 28, 2011 at 18:02

    tolong di pos tntg barisan dan barisan konvergen dalam topologi.. saya bingung mencari materi itu…thx

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s