pembuktian g(x+y)=g(x)g(y) kontinyu

Dapat Email dari seseorang yang isinya:

salam kenal,

saya salah satu penikmat blog nya mas aria. saya mendapat banyak pengetahuan matematika.

saya tertarik dengan matematika dan ingin mengajarkan kepada anak saya nanti. dalam kesempatan ini saya mohon bantuan mas aria untuk menyelesaikan problem ini. saya sudah coba, tapi masih belum menjawab.

problem:

Misalkan g: R–>R, g tidak sama dengan Nol. dan memenuhi : g(x+y) = g(x) g(y) . Untuk semua x,y diR. Tunjukkan bahwa bila g kontinu di x = 0, maka g kontinu di R

dibawah ini penyelesaian saya:

diketahui

g(x+y) = g(x) g(y), untuk semua x,y di R

untuk x = 0, g(0+y) = g(0) g(y)

g(y) = g(0) g(y),

g(y)/g(y) = g(0) sehingga g(0) = 1

jika g adalah kontinu di x = 0, maka g(0+y) = g(y) adalah kontinu di semua titik y. Selama y dapat diuraikan kedalam bentuk : y = a + b, dimana a,badalah bilangan real. Maka

g(y) = g(a+b) = g(a) g(b) sehingga g kontinu di setiap titik.

Untuk g(0) = 1, pertambahan sejauh h , maka

g(a+h) – g(a) = g(a) g(h) – g(a),

= g(a) {g(h) – 1}

= g(a) {g(h) – g(0)},

sehingga fungsi g kontinu setiap titik yang bertambah sejauh h.

mohon bantuan mas aria mengkoreksi kesalahan dan bagaimana seharusnya?

Mmm.. menurut saya penyelesainnya kurang tepat. Langkah pertama menunjukan g(0)=1 sudah tepat tepat tapi langkah selanjutnya yang menunjukan g(x) kontinyu di semua bilangan real, tidak tepat.
Nah.. sekarang kita lihat kembali apa itu fungsi kontinyu

Definsi: Sutu fungsi dikatakan kontinyu pada jika $f\left(a\right)$ terdefinsi dan $\lim_{x\rightarrow a}f\left(a\right)=f\left(a\right)$

Berdasarkan definsi dari fungsi g, diketahui untuk sebarang a di R pastilah g(a) terdefinsi. Itu berarti untuk menunjukan g kontinyu di R, kita tinggal menunjukan

$\lim_{x\rightarrow a}g\left(a\right)=g\left(a\right)$

Kita akan melakukan sedikit trik, ambil h=x-a maka x=a+h dan nilai h akan mendekati nol jika nilai x mendekati a

$\lim_{x\rightarrow a}g\left(a\right)=\lim_{h\rightarrow0}g\left(a+h\right)=\lim_{h\rightarrow0}g\left(a\right)g\left(h\right)=\lim_{h\rightarrow0}g\left(a\right)=g\left(a\right)$

Terbukti g kontinyu di R

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

14 Responses to pembuktian g(x+y)=g(x)g(y) kontinyu

Heri says:

September 22, 2014 at 20:46

Buktikan bahwa 1/2,3/4,5/6….2007/2008 lebih kecil 1/2009

Heri says:

September 22, 2014 at 20:42

Jika 0,201020102010….= x/y, dengan x,y bilangan asli, maka nilai terkecil dari x y adalah…

Heri says:

September 22, 2014 at 20:37

Bilangan 23a23b habis dibagi 8 dan 9. Tentukan nilai dari a b

Heri says:

September 22, 2014 at 20:33

Tentukan nilai y =x 13 x 23 x 33 … x 1003!

Heri says:

September 22, 2014 at 20:33

Tentukan nilai y =x 13 x 23 x 33 … x 1003

Heri says:

September 22, 2014 at 20:31

Tentukan nilai y =x 13 x 23 x 33 ….. x 1003

yunidar says:

March 12, 2012 at 09:14

assalam, mas.. terima kasih postingannya benar-benar membantu, I love Math, eh ya langganan yakkk

Jayanti says:

February 22, 2011 at 19:48

Mas..
mengenai statistik ada gak?

Anwar says:

February 8, 2011 at 17:26

penggunaan g kontinu di 0 tidak terlihat pada pembuktian di atas. Mungkin perlu ditulis detailnya spy jelas
$lim_{h \rightarrow 0} g \left (a \right) g \left (h \right) =lim_{h \rightarrow 0} g \left (a \right) lim_{h \rightarrow 0} g \left (h \right)= lim_{h \rightarrow 0} g \left (a \right) . g \left (0 \right)=g \left (a \right)$

- Aria Turns says:
  
  February 11, 2011 at 07:17
  
  Itu sengaja kok, biar orang yang baca mikir dikit 🙂
  
Herry PS says:

February 5, 2011 at 13:44

Secara umum di ruang topologi kekontinuan fungsi didefinisikan di sebuah anggota a dari domain f. Titik a ini bisa titik limit atau bukan (anggota yang bukan titik limit namanya titik terasing). Sementara itu, limit fungsi f didefinisikan untuk sebuah titik limit c. Titik limit c ini bisa merupakan anggota domain fungsi atau bukan. Apabila c merupakan anggota domain fungsi f dan kodomain dari f adalah ruang Haussdorff maka syarat perlu dan cukup f kontinu di c adalah limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

Untuk kasus2 khusus seperti di dalam ruang metrik ataupun di himpunan bilangan real R, tentu saja ini berlaku dengan realisasi konsep yang sesuai.

- Aria Turns says:
  
  February 7, 2011 at 06:12
  
  makasih mas, atas penjelasan detailnya 🙂
  
Eran says:

February 4, 2011 at 23:23

Mas,sedikit menambahkan (atau lebih tepat’y bertanya)..
Bukankah jika f kontinu di c,bukan berarti f punya limit di c?karena di beberapa buku,definisi kekontinuan tidak mengharuskan c sebagai cluster point (titik limit),sedangkan pd definisi limit,c haruslh titik limit..

- Aria Turns says:
  
  February 5, 2011 at 06:53
  
  Kalau kita pakai kacamata analisis real haruslah titik c adalah titik limit
  Tapi jika kita pakai kacamata topologi maka c tidak harus titik limit yang penting terdapat himpunan terbuka V yang memmuat c sedemikian hingga f(V) terbuka. Apakah ada atau tidak titik lain didalam V yang berbeda dari c, itu tidak jadi soal

	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…