Lemma Zorn adalah Lemma yang sangat penting dan berguna bagi Matematika karena banyak sekali Teorema yang bisak kita buktikan melalui Lemma Zorn
Kutipan dari postingan Lemma Zorn dan pembuktian keberadaan tuhan. Kali ini saya akan membahas salah satu aplikasi dari Lemma Zorn. Oya sebelumnya, sedikit mengingatkan kalian, siapa tahu kalian lupa, yang dimaksud dengan Lemma Zorn adalah
Lemma Zorn: Jika 
adalah suatu poset dan setiap rantai (himpunan bagian dari 
yang terurut total) didalamnya mempunyai batas atas maka mempunyai elemen maksimal.
Nah..dengan adanya Lemma Zorn, kita mampu membuktikan bahwa setiap ruang vektor pastilah mempunyai basis
Teorema: Setiap ruang vektor mempunyai basis
Bukti: Diberikan sebarang ruang vektor 
dan koleksi 
yang berisikan semua subhimpunan dari yang bebas linier
Jadi beranggotakan himpunan-himpunan bagian dari yang bebas linier. Ternyata ini merupakan poset dengan relasi urutan 
himpunan inklusi. Karena merupakan poset maka terdapat rantai-rantai didalam . Ambil 
sebarang rantai di , dikontruksikan himpunan
maka 
merupakan batas atas dari ? Mengapa? Karena merupakan realasi urutan didalam , itu berarti untuk semua 
berlaku 
.
Kita telah menunjukan bahwa sebarang rantai di mempunyai batas atas, berdasarkan lemma zorn maka mempunyai elemen maksimal 
.
Selanjutnya kita tunjukkan bahwa merupakan basis. Karena 
itu berarti merupakan himpunan bebas linier. Kita tinggal menujukkan membangun ruang vektor .
Andaikan ada vektor 
yang tidak dibangun oleh , dengan kata lain 
bukan kombinasi linier dari vektor-vektor didalam maka berakibat 
merupakan himpunan bebas linier. Itu berarti 
kontradiksi dengan kemaksimalan . Terbukti bebas linier dan membangun ruang vektor , dengan kata lain adalah basis.
QED
Dari pembuktian diatas terlihat bahwa Basis adalah elemen maksimal dari . Apakah elemen maksimal itu tunggal? Tidak, elemen maksimal tidak harus tunggal. Bisa saja suatu mempunyai banyak elemen maksimal (Baca:basis) sebut saja 
. akan tetapi kesemuanya mempunyai kardinaliatas (banyaknya elemen) yang sama
Kenapa? Karena jika kardinalitasnya berbeda maka banyaknya vektor yang dibangun juga berbeda. Nah.. Kesamaan kardinalitas inilah yang disebut dengan dimensi.
———————————————————————————————————————————————-
Like this:
Like Loading...
Related
About Nursatria
Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
Blog Matematika Pak Satria 
gimna cra buktikan teorema ini : sebarang himpunan vektor2 yang bebas linear di V termuat didalam basis untuk V. yaitu, sebarang himpunan yg bebas linier dapat diperluas menjadi basis untuk V. trmksih
clue: Tinggal dibuktikan bahwa sebarang himpunan yg bebas linier tersebut membangun semua vektor di V
gimna pmbuktian teorema ini :sebarang himpunan pembangun untuk V memuat basis untuk V. yaitu, sebarang himpunan pembangun dapat direduksi menjadi basis untuk V. buktikan.
bisa nda minta bantu kerjakan tugasku soalnya seperti ini buktikan bahwa himpunan semua kombinasi linear sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari v adalah suatu ruang bagian dari v
s
bagaimana dengan ruang vektor yang hanya berisi vektor 0 ?
dengan sendirinya vektor0 adalah basis
dosen saya menyatakan vektor 0 bukanlah basis karena tidak membangun dengan konstanta yang unik :
0 = x0
karena x dapat menjadi angka apa saja (tidak unik) maka vektor 0 bukanlah basis dari ruang vektor 0.
Sebenarnya saya sendiri masih bingung dan memang baru dalam sunia aljabar linear, jadi mohon penjelasannya 🙂
Oya saya salah, dosenmu yang benar. Okey jadi menjawab pertanyaanmu Bgaimana dengan ruang vektor yang hanya berisi vektor 0 ?
Ruang vektor yang hanya berisikan vektor 0 disebur ruang vektor trivial. Nah…ruang vektor trivial ini basisnya adalah himpunan kosng, itu berarti dimensinya adalah nol
pembuktian semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama
good……….saya tertarik dengan apa yang dibahas……..bwt mungkin kalo boleh saran……..dishooting like a video movie sembari masnya menjelaskan pasti lebih menarik lage……..heheheh…..keep move on with Realistic Mathematics Education………OFU
Oh begitu ya!!!!! bisa ditulis gak dlaam bentuk word terus dikirm ke email saya : denikagustito@yahoo.co.id
Hallo Homotopy, pertama pembuktian eksistensi basis menggunakan Lema Zorn berlaku utk sembarang ruang vektor tak nol (bisa berdimensi hingga ataupun tak hingga). Kedua, maksud saya keduanya ekuivalen (yang satu berakibat yang lain) adalah melalui axiom of choice. Kalau tertarik dapat dilihat di buku “Equivalents of the Axiom of Choice” karangan Rubin and Rubin, dan khususnya bukti teorema eksistensi basis berakibat axiom of choice dapat dilihat misalnya di paper “Existence of bases implies the axiom of choice” by Andreas Blass.
Dear PS.
Eksistensi basis dari ruang vektor tidak bisa digunakan untuk menujukkan bukti dari Lema Zorn, tetapi justru Lema Zorn digunakan untuk menunjukan eksistensi basis dari suatu ruang vektor tak nol yang berdminesi hingga. Saya kira begitu heeeee
Lema Zorn memang banyak penerapannya… btw teorema eksistensi basis juga dapat digunakan untuk membuktikan Lema Zorn, jadi keduanya ekuivalen.
gimna cra buktikan teorema ini : sebarang himpunan vektor2 yang bebas linear di V termuat didalam basis untuk V. yaitu, sebarang himpunan yg bebas linier dapat diperluas menjadi basis untuk V. trmksih