Konsep grup fundamental adalah salah satu konsep paling penting dalam topologi. Jika kita menganalogikan ruang topologi sebagai permukaan (surface) maka grup fundamental berjuan untuk mengetahui karakteristik dari permukaan tersebut dan melihat apakah 2 buah permukaan mempunyai karakter yang sama atau tidak
Bayangkan kalian mempunyai sebuah permukaan, permukaan apa? Bebas terserah kalian bissa permukaan bola, permukaan gelas, permukaan batu dan lain sebagainya. Selanjutnya pilih sebuah titik pada permukaan tersebut, tentunya kalin bisa menggambarkan putaran (loop) yang melalui titik
, apa itu putaran? Yaitu sebuah lintasan yang berawal dan berkahir di titik
. Nah… karena titik
merupakan awal dan akhir dari sebuah putaran maka
disebut BasePoint.
Secara formal putaran didefiniskan sebagai berikut:
Definisi: Diberikan ruang topologi dan
, sebuah fungsi kontinyu
dengan sifat disebut putaran dengan basepoint
Jadi putaran itu adalah sebuah fungsi kontinyu yang berawal dan berakhir pada titik yang sama. Dua buah putaran dan
dikatakan ekuivalen atau homotopic dinotasikan
jika putaran
bisa diubah bentuknya ( dengan cara: direnggangkan, di tarik, diperbesar, atau diperkecil) ke putaran
tanpa memotongnya, begitupula sebaliknya. Seacara formal 2 buah fungsi dikatakan homotopic jika terdapat fungsi kontinyu
dengan sifat untuk semua berlaku
Fungsi ini disebut homotopy dari
ke
, ternyata homotopy merupakan relasi ekuivalensi. Jadi terbentuklah kelas-kelas ekuivalensi atau disebut juga kelas-kelas homotopy, dinotasikan
yaitu kelas yang berisikan semua putaran yang homotopic ke
.
Selanjutnya, ternyata 2 buah putran dan
bisa dikomposisikan, pengkomposisian 2 buah putaran dinotasikan
, dengan cara melintasi
baru kemudian melintasi
, secara formal komposisi 2 buah putaran didefinisikan sebagai berikut:
Komposisi juga berlaku pada kelas-kelas homotopic, jika dan
berlaku
. Jadi komposisi 2 buah kelas homotopy akan menghasilkan kelas homotopy pula
.
Definisi: Dinotasikan himpuan semua kelas homotopy dari putran yang melalui basepoint
pada suatu ruang topologi
maka
merupakan grup bernama grup fundamental dengan operasi biner
.
Seperti yang sudah saya katakan bahwa putaran adalah fungsi dan yang namanya komposisi fungsi bersifat asosiatif maka jelas operasi biner dari bersifat asosiatif.
Selanjutnya apa elemen identitas dari Grup fundamental?
Elemen identitasnya adalah fungsi konstan untuk semua
. Dengan kata lain elemen identitas dari grup fundamental adala basepoint itu sendiri. Jadi basepoint bisa kita anggap sebagai putaran. Sedangkan invers dari putaran
adalah putran serupa yang arah putrannya berlawanan
Contoh
Untuk contoh kita lihat permukaan bola (Spare) dan permukaan donat yang dinamakan Torus. Pada permukaan bola, jelas bahwa apaapun putaran yang melalui suatu basepoint bisa disusutkan menjadi sebuah titik yaitu basepoint ity sendiri. Itu berarti permukaan bola hanya mempunyai 1 kelas homotopy, dengan kata lain grup fundamental dari permukaan bola adalah trivial hanya mempunyai satu elemen.
Sedangkan pada torus tidak semua putaran dapat disusutkan menjadi sebuah titik Karenas suatu putaran bisa memutari lubang donat atau memutari badan donat. Secara umum putaran pada torus bisa memutari lubang sebanyak n kali dan memutari badan torus sebanyak m kali. Jadi 2 buah putaran dikatakan homotopic jika memutari lubang dalam jumlah yang sama dan juga memutari badan torus dalam jumlah yang sama pula. Dapat dismpulakan grup fundamental dari torus isomorpic ke grup pasangan terurut bilangan bulat
Lebih lanjut bahwa grup fundamental dpat dipadnag sebagai fungtor dari kategori ruang topologi bersama dengan pemetaan kontinu ke kategori dari grup bersaa dengan homomorfisma. Konstrukis fungtorila yersebut dapat diihat di :