Konsep grup fundamental adalah salah satu konsep paling penting dalam topologi. Jika kita menganalogikan ruang topologi sebagai permukaan (surface) maka grup fundamental berjuan untuk mengetahui karakteristik dari permukaan tersebut dan melihat apakah 2 buah permukaan mempunyai karakter yang sama atau tidak

Bayangkan kalian mempunyai sebuah permukaan, permukaan apa? Bebas terserah kalian bissa permukaan bola, permukaan gelas, permukaan batu dan lain sebagainya. Selanjutnya pilih sebuah titik pada permukaan tersebut, tentunya kalin bisa menggambarkan putaran (loop) yang melalui titik ,  apa itu putaran? Yaitu sebuah lintasan yang berawal dan berkahir di titik . Nah… karena titik merupakan awal dan akhir dari sebuah putaran maka   disebut BasePoint.

Secara formal putaran didefiniskan sebagai berikut:

Definisi: Diberikan ruang topologi dan , sebuah fungsi kontinyu

dengan sifat  disebut putaran dengan basepoint 

Jadi putaran itu adalah sebuah fungsi kontinyu yang berawal dan berakhir pada titik yang sama.  Dua buah putaran dan dikatakan ekuivalen atau homotopic dinotasikan   jika putaran bisa diubah bentuknya ( dengan cara: direnggangkan, di tarik, diperbesar, atau diperkecil) ke putaran tanpa memotongnya, begitupula sebaliknya. Seacara formal 2 buah fungsi dikatakan homotopic jika terdapat fungsi kontinyu

dengan sifat untuk semua  berlaku

Fungsi ini disebut homotopy dari ke , ternyata homotopy merupakan relasi ekuivalensi. Jadi terbentuklah kelas-kelas ekuivalensi atau disebut juga kelas-kelas homotopy, dinotasikan  yaitu kelas yang berisikan semua putaran yang homotopic ke .

Selanjutnya, ternyata 2 buah putran dan bisa dikomposisikan, pengkomposisian 2 buah putaran dinotasikan , dengan cara melintasi baru kemudian melintasi , secara formal komposisi 2 buah putaran didefinisikan sebagai berikut:

Komposisi juga berlaku pada kelas-kelas homotopic, jika  dan  berlaku . Jadi komposisi 2 buah kelas homotopy akan menghasilkan kelas homotopy pula .

Definisi: Dinotasikan  himpuan semua kelas homotopy dari putran yang melalui basepoint pada suatu ruang topologi maka  merupakan grup bernama grup fundamental dengan operasi biner .

Seperti yang sudah saya katakan bahwa putaran adalah fungsi dan yang namanya komposisi fungsi bersifat asosiatif maka jelas operasi biner dari   bersifat asosiatif.

Selanjutnya apa elemen identitas dari Grup fundamental?

Elemen identitasnya adalah fungsi konstan  untuk semua . Dengan kata lain elemen identitas dari grup fundamental adala basepoint itu sendiri. Jadi basepoint bisa kita anggap sebagai putaran. Sedangkan  invers dari putaran adalah putran serupa yang arah putrannya berlawanan 

Contoh

Untuk contoh kita lihat permukaan bola (Spare) dan permukaan donat yang dinamakan Torus. Pada permukaan bola, jelas bahwa apaapun putaran yang melalui suatu basepoint bisa disusutkan menjadi sebuah titik yaitu basepoint ity sendiri. Itu berarti  permukaan bola hanya mempunyai 1 kelas homotopy, dengan kata lain grup fundamental dari permukaan bola adalah trivial hanya mempunyai satu elemen.

Sedangkan pada torus tidak semua putaran dapat disusutkan menjadi sebuah titik Karenas suatu putaran bisa memutari lubang donat atau memutari badan donat.  Secara umum putaran pada torus bisa memutari lubang sebanyak n kali dan memutari badan torus sebanyak m kali. Jadi 2 buah putaran dikatakan homotopic jika memutari lubang dalam jumlah yang sama dan juga memutari badan torus dalam jumlah yang sama pula. Dapat dismpulakan grup fundamental dari torus isomorpic ke grup pasangan terurut bilangan bulat