Quasigrup

Kita tahu bahwa himpunan bilangan bulat Z yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup. Bagaimana jika diganti dengan operasi pengurangan.

Apakah (Z,-) merupakan grup?

Untuk menjawabnya tentunya kita harus mengecek (Z,-) memenuhi aksioma-aksioma dari grup, yaitu:

• Operasi binernya bersifat asosiatif
• Mempunyai elemen identitas
• Setiap Elemennya mempunyai invers.

Pertama-tama kita lihat apakah operasi pengurangan itu asosiatif. Tidak, kita ambil counterexample nya

4-(2-2)=4 disisi lain  (4-2)-2=0

Karena operasi pengurang tidak asosiatif maka (Z,-) bukanlah Grup. Meskipun begitu kita akan tetap cek apakah  (Z,-) mempunyai elemen identitas dan invers.

Jika (Z,-) memepunyai elemen identitas e maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku

e-a=a-e=a

Mmm…kayaknya persamaan diatas hanya berlaku jika a=e=0. Itu berarti (Z,-) tidak mempunyai elemen identitas dan menyebabkan elemen-elemen di  (Z,-) tidak mempunyai invers.

Struktur  (Z,-) bukan juga merupakan semigrup karena aksioma dari semigrup adalah sifat asosiatif

Jika bukan Grup bukan pula Semigrup lalu  (Z,-) itu apa?

Struktur dari  (Z,-) dinamakan Quasigrup

Definisi:  Himpuan G yang dilengkapi dengan operasi biner dikatakan Quasigrup jika berlaku aksioma sebagai berikut:

Untuk sebarang a dan b terdapat dengan tunggal p dan q sedemikian hingga pa=b dan aq=b.

Elemen p dikatakan pembagi kiri a/b (a dibagi b) sedangkan elemen q dikatakan pembagi kanan a\b (a membagi b). Jadi Quasigrup merupakan generaliasi dari grup tanpa asosiatif tanpa elemen identitas, yang mana “pembagian” selalu bekerja didalamnya.

Nah..sekarang kita buktikan (Z,-) merupakan quasigrup.

Ambil sebarang a dan b pada Z, jika diambil p=b-(-a) dan q=a-b diperoleh p-a=b dan a-q=b.

QED

Loop

Definisi: Loop adalah quasigrup yang mempunyai elemen identitas.

Karena elemen identitas itu tunggal maka elemen-elemen dari loop mempunyai dengan tunggal invers kiri dan kanan, meskipun invers kiri dan kanannya tidak selalu sama.

 Bentuk khusus dari loop adalah grup

Definisi: Grup adalah loop yang mempunyai sifat asositif

Dengan kata lain semua grup adalah loop.