Quasigrup
Kita tahu bahwa himpunan bilangan bulat Z yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup. Bagaimana jika diganti dengan operasi pengurangan.
Apakah (Z,-) merupakan grup?
Untuk menjawabnya tentunya kita harus mengecek (Z,-) memenuhi aksioma-aksioma dari grup, yaitu:
- Operasi binernya bersifat asosiatif
- Mempunyai elemen identitas
- Setiap Elemennya mempunyai invers.
Pertama-tama kita lihat apakah operasi pengurangan itu asosiatif. Tidak, kita ambil counterexample nya
4-(2-2)=4 disisi lain (4-2)-2=0
Karena operasi pengurang tidak asosiatif maka (Z,-) bukanlah Grup. Meskipun begitu kita akan tetap cek apakah (Z,-) mempunyai elemen identitas dan invers.
Jika (Z,-) memepunyai elemen identitas e maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku
e-a=a-e=a
Mmm…kayaknya persamaan diatas hanya berlaku jika a=e=0. Itu berarti (Z,-) tidak mempunyai elemen identitas dan menyebabkan elemen-elemen di (Z,-) tidak mempunyai invers.
Struktur (Z,-) bukan juga merupakan semigrup karena aksioma dari semigrup adalah sifat asosiatif
Jika bukan Grup bukan pula Semigrup lalu (Z,-) itu apa?
Struktur dari (Z,-) dinamakan Quasigrup
Definisi: Himpuan G yang dilengkapi dengan operasi biner dikatakan Quasigrup jika berlaku aksioma sebagai berikut:
Untuk sebarang a dan b terdapat dengan tunggal p dan q sedemikian hingga pa=b dan aq=b.
Elemen p dikatakan pembagi kiri a/b (a dibagi b) sedangkan elemen q dikatakan pembagi kanan a\b (a membagi b). Jadi Quasigrup merupakan generaliasi dari grup tanpa asosiatif tanpa elemen identitas, yang mana “pembagian” selalu bekerja didalamnya.
Nah..sekarang kita buktikan (Z,-) merupakan quasigrup.
Ambil sebarang a dan b pada Z, jika diambil p=b-(-a) dan q=a-b diperoleh p-a=b dan a-q=b.
QED
Loop
Definisi: Loop adalah quasigrup yang mempunyai elemen identitas.
Karena elemen identitas itu tunggal maka elemen-elemen dari loop mempunyai dengan tunggal invers kiri dan kanan, meskipun invers kiri dan kanannya tidak selalu sama.
Bentuk khusus dari loop adalah grup
Definisi: Grup adalah loop yang mempunyai sifat asositif
Dengan kata lain semua grup adalah loop.
bisa g ini diambil judul skripsi… tpi aplikasix dimna?
Bisa aja, aplikasinya pada kriptografi
Quasigroup punya aplikasi di kriptografi lho tet, saya dulu pernah baca-baca sedikit tentang itu…
Bisa dibaca di http://www.math.md/files/csjm/v17-n2/v17-n2-(pp-193-228).pdf
Ya..silahkan Bung Zaki menuliskan aplikasi Quasigrup pada kriptografi 🙂