Misalkan saya punya rumus
mari kita lihat
- Untuk
maka
- Untuk
maka
- Untuk
maka
- Untuk
maka
Nah pertanyaannya adalah
Bagaimana membuktikan bahwa rumus diatas berlaku untuk semua ?
Tentu saja kita mustahil mengecek satu-persatu bilangan asli. Untuk membuktikannnya kita harus menggunakan induksi matematika
Induksi Matematika
Merupakan metode pembuktian untuk membuktikan pernyataan berbentuk
: Untuk suatu bilangan asli
berlaku
bahwa berlaku untuk semua
.
Langkah-langkah pada Induksi Matematika
Ada 2 langkah pada Induksi matematika untuk memebuktikan pernyataan berlaku untuk semua
.
- Langkah pertama disebut Langkah dasar. Buktikan untuk
berlaku
- Langkah kedua disebut Langkah Induksi. Asumsi berlaku untuk
berlaku
, buktikan untuk
berlaku
.
Keabsahan dari 2 langkah dari induksi matematika dijamin oleh Postulate Peano (PP). Karena sebenarnya induksi matematika merupakan postulate ke-3 dari PP.
Contoh
1. Kita buktikan rumus diatas
Langkah dasar: Untuk berlaku
Terbukti untuk , selanjutnya
Langkah Induksi: Asumsi untuk berlaku
.
Akan dibuktikan untuk berlaku
Inilah yang akan kita buktikan. Berdasarkan asumsi maka sisi kiri dapat ditulis
Jabarkan:
Terbukti untuk , langkah induksi telah lengkap maka bisa kita simpulkan
berlaku untuk semua
2. Buktikan habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli
Langkah dasar: Untuk , jelas
habis dibagi 4
Langkah Induksi: Asumsi untuk berlaku
habis dibagi 4. Akan dibuktikan
habis dibagi 4
berdasarkan asumsi habis dibagi 4, begitupula
habis dibagi 4, itu berarti
habis dibagi 4.
Langkah induksi telah lengkap maka bisa kita simpulkan habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli
3. Buktikan untuk semua
Untuk contoh ke-3 saya akan menunjukan langkah dasar tidak harus selalu dimulai dari tapi tergantung kondisi. Pada contoh ini langkah dasar dimulai dari
, kenapa? Karena persamaan diatas tidak berlaku untuk
Langkah dasar: Untuk berlaku
Terbukti berlaku untuk
Langkah induksi: Asumsi untuk berlaku
akan dibuktikan
:
Diketahui dengan
serta berdasarkan asumsi
diperoleh
Langkah induksi telah lengkap maka bisa disimpulkan untuk semua
Pingback: Pembuktian Prinsip Pengurutan yang Baik | Blog Matematika Pak Satria
Pingback: Semua orang Indonesia berumur sama | Aria Turns
keren…
wah induksi math di matkul anreal ni,, mas aria mau nanya utk rumus2 math anda make software apa supaya bisa diupload di blog? mksh
Itu pake
, cara nya gimana tanya mbah google aja yah 🙂