Seorang mahasiswa matematika tingkat akhir bertanya mengenai skripsinya ke saya via email. Skripsinya membahas ruang 2-metrik, suatu hal baru saya dengar. Ia memberikan Paper yang membahas tersebut, setelah saya baca ternyata ruang 2-metrik amat lah menarik. Pada ruang metrik yang biasa kita kenal jarak atau disebut juga metrik membutuhkan 2 titik, Jarak adalah hubugan 1 titik ke titik yang lain. Sedangkan pada ruang 2-metrik, jarak membutuhkan 3 titik. Jarak adalah hubungan 1 titik ke 2 titik dengan kata lain jarak adalah hubungan titik ke sepasang titik. Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut:
- Gambar 1
2 garis pada gambar 1 menggambarkan jarak titik hitam ke sepasang titik merah. Nah.. sekarang kita lihat definisi formal dari ruang 2-metrik.
Ruang 2-Metrik
Definisi: Diberikan himpunan tak kosong dan
fungsi dari
ke
, dengan kata lain
Yang memeuhi aksioma-aksioma sebgai berikut.
(i) Untuk setiap pasang titik yang berbeda maka terdapat titik
sedemikian hingga
(ii) jika hanya jika 2 dari 3 titiknya sama.
(iii) untuk semua
(iV) untuk semua
Fungsi disebut fungsi 2-metrik dan
disebut ruang 2-metrik
Aksioma (ii) menunjukan bahwa ruang 2-metrik serupa dengan ruang metrik, pada ruang metrik 2 titik yang sama jaraknya akan nol begitupula pada ruang 2-metrik jika 2 dari 3 titiknya sama maka jraknya akan nol. Aksioma (iii) menunjukkan sifat simetri dari fungsi 2-metrik artinya jika kita mempunyai 3 titik maka jarak setiap titik ke dua titik lainnya akan selalu sama. Aksioma (iV) merupakan pertidaksamaan segitiga pada ruang 2-metrik dan menunjukkan bahwa fungsi 2-metrik adalah fungsi non-negatif.
Bola pada ruang 2-metrik.
Sekarang kita lihat bagaimana bola pada ruang 2-metrik didefinisikan.
Definsi: Diberikan ruang 2-matriks , pasangan titik
dan
.
Himpunan bagian
dari dikatakan 2-bola dengan pusat di
dan
dengan jari-jari
Berdasarkan definsi ruang metrik jelas sama dengan
.
Jadi pada ruang 2-metrik, bola membutuhkan 2 titik pusat, untuk lebih jelasnya lihat gamabar berikut
- Gambar 2
Pada Gambar 2 menujukkan 2-bola berpusat pada 2 titik biru dan berjari-jari .
Ruang 2-metrik pada himpunan bilangan real
Sekarang saya akan memberikan contoh fungsi 2-metrik pada himpunan bilangan real.
Diberikan himpunan bilangan real dan fungsi
yang didefinisikan sebagai berikut
Silahkan kalian buktikan sendri merupakan fungsi 2-metrik. Jadi
merupakan ruang 2-metriks.
Selanjutnya saya akan memberikan 2 cotoh soal senderhana untuk kalian
1. Hitung jarak dari 5 ke (0,1)!
2. Diberikan pasangan (0,1) dan jari-jari 5. Hitung !
diperoleh
defenisi titik pusat pada 2-bola apa dong mas?