Pembuktian hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

Pada postingan Gradien garis mendatar dan Garis tegak, saya sering mendapat pertanyaan

Mengapa hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1?

Dalam postingan ini saya akan menjawab pertanyaan diatas.

Diberikan 2 garis $p$ dan $q$ yang saling tegak lurus. Tanpa mengurangi generalitas (Without loss of generality) diasumsikan kedua garis berpotongan dititik awal $O(0,0)$ . Karena sebenarnya kedua garis dapat digeser kemana saja tanpa merubah gradient. Andaikan terdapat titik $A(x_1,y_1)$ pada garis $p$ dan titik $B(x_2,y_2)$ pada garis $q$ , seperti ditunjukan pada gambar diatas. Diperoleh gradien garis $p$ adalah $y_1/x_1$ dan gradien garis $q$ adalah $y_2/x_2$ .

Kita akan membuktikan $y_{1}/x_{1}\left(y_{2}/x_{2}\right)=-1$

Ketiga titik $A$ , $O$ dan $B$ membentuk segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku pada sudut $O$ .

Gunakan teorema Pythagoras, diperoeleh

(jarak $O$ ke $A$ )²+ (jarak $O$ ke $B$ )²=(jarak $A$ ke $B$ )²

$\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)+\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}$

Silahkan kalian jabarkan sendiri, diperoleh

$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$

$y_{2}/x_{2}=-x_{1}/y_{1}$

Dari persamaan terakhir dengan mudah diperoleh

$y_{1}/x_{1}\cdot\left(y_{2}/x_{2}\right)=y_{1}/x_{1}\cdot\left(-x_{1}/y_{1}\right)=-1$

Terbukti hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

QED

Cara Trigonometri

Selain cara diatas, kita juga bisa menggunakan cara trigonometri untuk membuktikan asil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1. Kita tahu gradien suatu garis bisa direpresentasikan dalam bentuk $\tan\left(\theta\right)$ , dengan $\theta$ adalah sudut antara garis dengan sumbu absis.

Diberikan garis $q$ dengan gradien $m=\tan\left(\alpha\right)$ . Jika ada garis $p$ yang tegak lurus dengan garis $q$ maka gradien garis $p$ adalah $\tan\left(\alpha+\pi/2\right)$ .

Gunakana rumus trigonometri berikut

$\tan\left(x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

Diperoleh

$\tan\left(\alpha+\pi/2\right)=\frac{m+\tan\left(\pi/2\right)}{1-m\tan\left(\pi/2\right)}$

Karena $\tan\pi/2$ tidak terdefinisi, kita harus melakukan sedikit trik dengan mensubtitusi $\tan\left(\pi/2\right)=\sin\left(\pi/2\right)/\cos\left(\pi/2\right)$ . Silahkan kalian lanjutkan sendiri untuk memperoleh

$\tan\left(\alpha+\pi/2\right)=-1/m$ .

Jelas $\tan\left(\alpha\right)\tan\left(\alpha+\pi/2\right)=m\left(-1/m\right)=-1$

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

14 Responses to Pembuktian hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

sefri says:

September 21, 2013 at 23:21

masih bingung di bagian hasil penjabaran dari rumus pytagoras.
mohon di jelaskan dengan detail.
Terimaksih.

puterella says:

February 7, 2012 at 20:28

Menurut sepengetahuan saya kata guru saya d skolah yg namanya 1/0 itu tak terhingga, yang tak terdefinisi itu jika 0/0….

- Aria Turns says:
  
  February 7, 2012 at 21:17
  
  Jika 1/0=tak terhingga artinya 1 apel diberikan ke 0 anak maka tiap anak mendapat tak hingga bagian. Lho kok bisa? kan anaknya gak ada 🙂
  
Gosis says:

December 6, 2011 at 02:20

Jika garisnya sejajar dengan sumbu x dan sumbu y apakah hasil kali gradiennya juga -1???

- Aria Turns says:
  
  December 6, 2011 at 06:43
  
  Tidak karena garis yang sejajar dengan sumbu y, gradiennya tidak terdefinsi karena nilainya 1/0
  
  - samsul arifin says:
    
    December 9, 2011 at 11:22
    
    sampai sekarang aku agak bingung, apakah sumbu-x dan sumbu-y merupakan pengecualian untuk kasus ini? kedua garus tersebut kan saling tegak lurus. terlepas dari salah satu gradiennya yang tidak terdefinisi sih.
    
    - Aria Turns says:
      
      December 9, 2011 at 13:12
      
      Yup..pengecualian ada penjelasannya di buku2 kalkulus
      
Aria Turns says:

November 30, 2011 at 14:23

@ Jay Math:
Ya dosen mu bener, tak terdefinisi bahasa sederhanaya nggak ada. 1/0 tak terdefinsi karena nilainya emang gak ada

Fajar Halimi says:

November 23, 2011 at 19:43

tolong cariin jawaban ini dong
(2,-7) dan tegak lurus 4x-3y=12
cariin gradien sama persamaan garisnya !!!

Opan says:

November 18, 2011 at 23:18

Singkat, padat, jelas, dan ada mikirnya. 🙂

Rizqi says:

November 16, 2011 at 06:11

Yaa memank bgtu…
Saya ingin bertanya..
Brp nilai tan 90?
Tak hingga atau tak terdefinisi..

- Aria Turns says:
  
  November 16, 2011 at 07:00
  
  Tak terdefinsi karena $\tan (\pi/2)=1/0$
  
  - jay_math says:
    
    November 30, 2011 at 10:26
    
    kata dosen saya, nilai yang tak terdefinisi itu nggak ada..yang bener tak terhingga..
    jadi sebenarnya 1/0 itu tak terdefinisi atau nggak terhingga??
    
    - ismiza says:
      
      February 25, 2013 at 07:03
      
      setau saya 1/0 itu tak terdefinisi kalau tak hingga berarti dia punya banyak kemungkinan sedanngkan ga ada perkalian bil 0 yang menghasilkan 1

	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…