Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

Buku kalkulus yang saya punya adalah Kalkulus dan Geoemtri Analisis, Purcell, edisi Terjemahan, sedangkan buku analisi real yang saya punya: Introduction to Real Analysis, Bartle. Saya baru ngeh baru sadar ternyata definisi fungsi kontinyu pada kedua buku tersebut berbeda dan perbedaan tersebut tidak ekuivalen. Setelah saya melakukan penelusuran di Internet, saya sampai pada satu kesimpulan definisi fungsi kontinyu di kalkulus berbeda dengan yang ada di Analisis Real.

Kalkulus mengatakan

Diberikan $A\subseteq\mathbb{R}$ , $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ dan $c\in A$ . Fungsi $f$ dikatakan kontinyu di titik $c$ , jika berlaku: $f(c)$ terdefinsi dan $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$

Sekarang kita jabarkan $\lim_{x\rightarrow c}f\left(c\right)=c$ kedalam bentuk epsilon-delta, diperoleh pernyataan.

Untuk sebarang $\epsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian hingga, jika $0<|x-c|<\delta$ dengan $x\in A$ maka $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ .

Sedangkan Analisis real berkata

Diberikan $A\subseteq\mathbb{R}$ , $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ dan $c\in A$ . Fungsi $f$ dikatakan kontinyu di titik $c$ , jika berlaku pernyataan berikut.

Untuk sebarang $\epsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian hingga, jika $|x-c|<\delta$ dengan $x\in A$ maka $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ .

Dimana letak perbedaannya?

Kalkulus mengatakan $0<|x-c|<\delta$ , itu artinya jarak $x$ ke $c$ tidak boleh nol. Dengan kata lain $x$ haruslah berbeda dengan $c$ ( $x\neq c$ )

Sedangkan analisis Real mengatakan $|x-c|<\delta$ , itu artinya jarak $x$ ke $c$ boleh nol. Dengan kata lain boleh saja $x=c$ . Jadi definsi kekontinyuan di analisis real tidak serupa dengan $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$

Apa akibat dari perbedaan ini?

Titik terasing kontinyu atau diskontinyu?

Definsi: Diberikan $A\subseteq\mathbb{R}$ , dan $c\in A$ . Titik $c$ dikatakan titik terasing (Isolated point), jika terdapat $r>0$ sedemikian hingga $A\cap\left(c-r,c+r\right)=\left\{ c\right\}$

Contoh: $A=\left[0,3\right]\cup\left\{ 20\right\}$ , jelas 20 adalah titik terasing di $A$

Di kalkulus, sebarang fungsi akan selalu diskontinyu di titik terasing sebaliknya di analisis real akan selalu kontinyu di titik tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut.

Contoh: Diberikan $A=\left[0,3\right]\cup\left\{ 20\right\}$ dan $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ yang didefinsikan $g(x)=2x$ .

Menurut kalkulus, fungsi $g(x)$ diskontinyu di 20. Karena $\lim_{x\rightarrow20}g\left(20\right)=g\left(20\right)$ tidak ada. Mengapa tidak ada? Karena untuk sebarang $\epsilon >0$ tidak berlaku $|g(x)-g(20)|<\epsilon$ , dengan $x\in A$ dan $x\neq 20$

Sebaliknya menurut analisis real, fungsi $g(x)$ kontinyu di 20. Jika kita ambil $x=20$ maka jelas berlaku

$|20-20|<\delta\Rightarrow|g\left(20\right)-g\left(20\right)|<\epsilon$ .

Dalam analisis real, definsi fungsi $f$ kontinyu di titik $c$ akan memenuhi $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$ , jika $c$ merupakan titik akumulasi.

Definsi : Diberikan $A\subseteq\mathbb{R}$ , dan $c\in A$ . Titik $c$ dikatakan titik Akumulasi (Accumulation point), jika untuk sebarang $r>0$ , terdapat $y\neq c$ sedemikian hingga $y\in A\cap\left(c-r,c+r\right)$ .

Secara sederhana titik akumulasi merupakan lawan dari titik terasing

Yang jadi pertanyaan buat saya.

Mengapa perbedaan ini terjadi?

Kalian jangan anggap remeh perbedaan ini, Jika kalian mendapatkan soal sebagai berikut.

Diberikan himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ dan $h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ yang didefinsikan $h(x)=x/2$ .

Apakah $h(x)$ kontinyu di $\mathbb{N}$ ?

Hayoo.. apa jawaban kalian? Tergantung definsi kekontinyuan mana yang kalian gunakan.

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

15 Responses to Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

septian says:

July 19, 2013 at 20:30

kalo fungsi kontinyu di graf bagaimana?? ada yang tahu? terkait itu saya masih bertanya tanya… khususnya di pemetaan graf… di sana di katakan bahwa misal G graf sederhana dan f: G->G adalah fungsi kontinyu. maksy=uk kata fungsi kontinyu itu apa ya??

- Aria Turns says:
  
  July 20, 2013 at 19:21
  
  Maaf saya sendiri kurang tahu
  
ibnu masud albantani says:

December 11, 2012 at 07:34

yang betul di kalkulus mas, di buku mbah bartle edisi ke-3, definisinya sama. definisi 4.1.4 hal 98.

- Aria Turns says:
  
  December 13, 2012 at 21:36
  
  Mmm…buku yang saya punya mungkin edisi pertama tahun 1982
  
cicaintan says:

August 5, 2012 at 20:24

ini kimia ka?

alvein says:

June 4, 2012 at 17:25

guys… da yg tw penjelasan fungsi limit dalam kehidupan sehari”……..
tolong donk brooo

homotopi says:

January 5, 2012 at 23:22

wkwkwkw diskusi yang mantap tet!

zack says:

December 9, 2011 at 17:16

oke mas,, trims dah di edit..

bukannya itu yg di kalkulus ma real definisinya equivalen ya?? kok aq tetep ngeliatnya equivalen ya?? ada yg salah ma pemahaman q?? hmmmm…. hehe

coba :
$\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$

- M.yusuf says:
  
  December 24, 2011 at 02:27
  
  mas tolong di share dunt tentang fungsi kontinu yang soalnya x memenuhi kalkulus 1
  makasih sebelumnya……
  
  - Aria Turns says:
    
    December 24, 2011 at 06:14
    
    x memenuhi kalkulus 1??? maksudnya apa yach?
    
zack says:

December 8, 2011 at 19:16

hmmm… kalo yg aq dapet di kalkulus dulu sh,,
Diberikan $A\subseteq\mathbb{R}, f:A\rightarrow\mathbb{R}$ dan $c\in A$ . Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku:
– $f(c)$ terdefinsi/ada
– $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)$ ada
– $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$
(sebenernya analog sh ma yg mas tulis.. hehe)

bukannya kalo f(c) terdefinisi itu berarti x boleh sama dengan c ya mas?? soalnya nilai f di c masih terdefinisi.. ya g sh?? hehe

(btw, lumayan nh.. dpt blog keren… hehe)

- zack says:
  
  December 8, 2011 at 19:29
  
  sbnr e intinya di “ $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$ ” ya g sh mas?? hehe
  
  - Aria Turns says:
    
    December 8, 2011 at 20:25
    
    Yup, intinya apakah fungsi $f$ dikatakan kontinyu di $c$ harus memenuhi $\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)$ ?
    Menurut kalkulus, Ya harus sedangkan menurut analisis real, tidak harus.
    Tentunya kita bertanya dong , Jadi mana yang bener nich?
    Oya untuk pakai latex caranya $lat*ex kode latex $
    Note: hapus *
    Tadi saya edit komenmu supaya latexnya muncul
    
Aria Turns says:

December 4, 2011 at 12:32

Yup… titik closur dan titik akumulasi tu sami mawon. Coba baca lagi buku analisis real mu. Buku Introduction to Real Analysis karangan Mbah Bartle yang saya punya dengan tegas menyatakan fungsi $f$ pasti kontinyu di titik terasing

rossi fauzi says:

December 4, 2011 at 12:02

titik closur dan titik acumulation sma ndak ka’……? setau q, di analisis real tuk fungsi kontinu yg digunakan titik closur, dan titik closur tu x tdk = c, bner ndak……:-) ?

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Hajirin on Review The God Delusion
	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …