Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

Di Tahun 1872, Weierstrass mengejutkan dunia Matematika dengan menuliskan sebuah paper yang menunjukan ada fungsi kontinyu di semua titik di $\mathbb{R}$ tetapi tidak tidak terturun dimanapun. Fungsi tersebut dinamakan sesuai dengan namanya yaitu Fungsi Weierstrass.

Definisi: Diberikan $0<a<1$ dan $b$ bilangan ganjil positif yang memenuhi $1+3\pi/2<ab$ (contoh: ambil $a=1/2$ dan $b=11$ ). Didefinsikan fungsi Weierstrass $W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , sebagai berikut:

$W\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right)$

Sebuah fungsi berbentuk deret tak hingga

Sebelum Weierstrass menerbitkan papernya, mayoritas Matematikawan termasuk Dewa Matematika Gauss berkeyakinan bahwa fungsi kontinyu hanya gagal terturun di titik-titik tertentu saja, Contohnya fungsi $|x|$ yang hanya tidak terturun di titik 0. Nah..Weierstrass lah dengan sukses membantah keyakinan mereka.

Teorema: Fungsi $W$ kontinyu seragam di $\mathbb{R}$ tetapi tidak terturun di titik manapun.

Ternyata fungsi $W$ tidak hanya kontinyu melainkan kontinyu seragam. Faka ini juga mengejutkan para Matematikawan ternyata kontinyu seragam tidak menjamin keterturunan.

Bukti:

Pertama-tama kita buktikan fungsi $W$ kontinyu seragam di $\mathbb{R}$

Dengan mudah diketahui $\left|a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right)\right|\leq a^{n}$ dan $\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}$ maka berdasarkan Weierstrass M-Test, diketahui fungsi $W$ kontinyu seragam di $\mathbb{R}$ .

Selanjutnya dibuktikan, untuk sebarang $x_{0}\in\mathbb{R}$ , fungsi $W$ tidak terturun di $x_{0}$ . Caranya sebagai berikut:Kita mengkontruksikan dua barisan $\left(x_{m}^{+}\right)$ dan $\left(x_{m}^{-}\right)$ , sedemikian hingga

$x_{m}^{+}\rightarrow x_{0}$ dari kanan dan $x_{m}^{-}\rightarrow x_{0}$ dari kiri. Itu artinya $x_{m}^{-}<x_{0}<x_{m}^{+}$ . Selanjutnya ditunjukan turunan

$D_{m}^{\pm}W=\frac{W\left(x_{m}^{\pm}\right)-W\left(x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}$

tidak mempunyai nilai limit yang sama. Faktanya akan ditunjukan bahwa $\left|D_{m}^{\pm}W\right|$ divergen ke $\infty$ ketika $m\rightarrow\infty$ serta kedua $D_{m}^{+}W$ dan $D_{m}^{-}W$ mempunyai tanda yang berbeda.

Jadi dalam skala kecil, fungsi $W$ naik-turun teramat sering dengan kemiringan tak-hingga.

Grafik Fungsi Weierstrass

Ambil sebarang $x_{0}\in\mathbb{R}$ . Untuk setiap $m\in\mathbb{N}$ terdapat bilangan bulat $\alpha_{m}\in\mathbb{Z}$ , sedemikian hingga:

$b^{m}x_{0}=\alpha_{m}+\epsilon_{m}$

dengan $\epsilon_{m}\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ . ( $\alpha_{m}$ adalah $\left[b^{m}x_{0}\right]$ atau $\left[b^{m}x_{0}\right]-1$ , tergantung bagian desimal dari $b^{m}x_{0}$ apakah $\leq\frac{1}{2}$ atau $>\frac{1}{2}$ . Didefinisikan

$x_{m}^{\pm}=\frac{\alpha_{m}\pm1}{b^{m}}=\frac{b^{m}x_{0}-\epsilon_{m}\pm1}{b_{m}}=x_{0}+\frac{\pm1-\epsilon_{m}}{b_{m}}$

Karena $\left|\pm1-\epsilon_{m}\right|\leq1\frac{1}{2}$ dan $b\geq3$ maka $x_{m}^{\pm}-x_{0}$ konvergen ke 0. Selanjutnya kita jabarkan turunan.

$D_{m}^{\pm}=\frac{W\left(x_{m}^{\pm}\right)-W\left(x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}$

Selanjutnya kita pecah deret diatas menjadi 2 bagain.

$D_{m}^{\pm}=\sum_{n=0}^{m-1}a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}+\sum_{n=m}^{\infty}a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}$

Rujuk 2 bagian diatas dengan $S_{1}^{\pm}+S_{2}^{\pm}$ . Pertama-tama kita berikan batas atas untuk $S_{1}^{\pm}$ . Tulis ulang rumusnya menjadi:

$a^{n}\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}=\left(ab\right)^{n}\pi\frac{\cos\left(b^{n}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{n}\pi x_{0}\right)}{b^{n}\pi x_{m}^{\pm}-b^{n}\pi x_{0}}$

Diperoleh bentuk $\left(ab\right)^{n}\pi\frac{\cos\left(A\right)-\cos\left(B\right)}{A-B}$ . Berdasarkan Teorema Nilai rata-rata terdapat titik C antara A dan B dengan $\frac{\cos\left(A\right)-\cos\left(B\right)}{A-B}=-\sin C$ dan nilai mutlaknya adalah $\leq1$ , diperoleh

(1) $\left|S_{1}^{\pm}\right|\leq\sum_{n=0}^{m-1}\left(ab\right)^{n}\pi=\pi\frac{\left(ab\right)^{m}-1}{ab-1}<\pi\frac{\left(ab\right)^{m}}{ab-1}$

Sekarang masuk ke bagian 2. Kita indeks ulang $k=n-m$ .

(2) $S_{2}^{\pm}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{k+m}\frac{\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)-\cos\left(b^{k+m}\pi x_{0}\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}$

Dijabarkan argument cos pada term pertama

$\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)=\cos\left(b^{k}\pi\cdot b^{m}\frac{\alpha_{m}\pm1}{b^{m}}\right)=\cos\left(b^{k}\left(\alpha_{m}\pm1\right)\pi\right)$

Karena $b^k$ adalah bilangan bulat ganjil, dan $\alpha\pm1$ adalah bilangan bulat bulat maka nilai diatas adalah $\pm1$ , dengan tanda ditentukan oleh $\alpha\pm1$ yaitu:

$\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)=\left(-1\right)^{\alpha\pm1}=-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}$

Selanjutnya, argument cos pada term kedua di persamaan 2 adalah:

$b^{k+m}\pi x_{0}=b^{k+m}\pi\frac{\alpha_{m}+\epsilon_{m}}{b^{m}}=b^{k}\pi\left(\alpha_{m}+\epsilon_{m}\right)$

Gunakan rumus penjumlahan cosine, $\cos\left(A+B\right)=\cos\left(A\right)\cos\left(B\right)-\sin\left(A\right)\sin\left(B\right)$ , diperoleh:

$\cos\left(b^{k+m}\pi x_{m}^{\pm}\right)=\cos\left(b^{k}\pi\left(\alpha_{m}+\epsilon_{m}\right)\right)=\cos\left(b^{k}\alpha_{m}\pi\right)\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)-\sin\left(b^{k}\alpha_{m}\pi\right)\sin\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)$

Karena $b^{k}\alpha_{m}\in\mathbb{Z}$ , term kedua adalah 0, diketahui pula $\cos\left(b^{k}\alpha_{m}\pi\right)=-1^{\alpha_{m}}$ , diperoleh

$\cos\left(b^{k+m}\alpha_{m}\pi\right)=-1^{\alpha_{m}}\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)$ .

Masukkan ke persamaan 2 diperoleh

(3) $S_{2}^{\pm}=\sum_{k=0}^{\infty}\alpha^{k+m}\frac{-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{x_{m}^{\pm}-x_{0}}$

Diketahui $x_{m}^{\pm}-x_{0}=\left(\pm1-\epsilon_{m}\right)/b^{m}$ , maka persamaan 3 dapat disederhanakan sebagai berikut

(4) $S_{2}^{\pm}=\left(ab\right)^{m}\left(-1\right)^{\alpha_{m}}\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{\epsilon_{m\mp 1}}$

Nah… sekarang perhatikan 2 deret $S_{2}^{+}$ dan $S_{2}^{-}$ secara terpisah, dari persamaan 4 diperoleh:

$\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{\epsilon_{m}-1}$

Karena $\epsilon_{m}\leq\frac{1}{2}$ dan $\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)\geq-1$ maka semua suku pada deret diatas adalah $\leq0$ . Oleh karena itu negatif dari deret tersebut mempunyai suku-suku yang non-negatif dan mempunyai batas bawah oleh suku pertama $k=0$ .

$-\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}\geq\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{1-\epsilon_{m}}$

Karena $\epsilon_{m}>-\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{1-\epsilon_{m}}\geq\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$ dan $\epsilon_{m}\pi\in\left(-\pi/2,\pi/2\right]$ maka nilai cosine adalah $\geq0$ serta pembilang adalah $\geq1$ , diperoleh

(5) $-\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}\geq\frac{1}{1+1/2}=\frac{2}{3}$

Sekarang kita perhatikan $S_{2}^{-}$ , dari persamaan 4, diperoleh

$\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{-}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\frac{1+\cos\left(b^{k}\epsilon_{m}\pi\right)}{\epsilon_{m}+1}$

adalah deret dengan suku-suku non-negatif. Dengan cara yang sama pada penjabaran $S_{2}^{+}$ , diperoleh:

(6) $\frac{\left(-1\right)^{\alpha_{m}}}{\left(ab\right)^{m}}S_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}$

Sekarang kita siap menyelesaikan pembuktian, gabungkan persamaan 1 dan 5

$\left(ab\right)^{-m}D_{m}^{+}W=\left(ab\right)^{-m}S_{1}^{+}+\left(ab\right)^{-m}S_{2}^{+}$

dengan

$\left|\left(ab\right)^{-m}S_{1}^{+}\right|\leq\frac{\pi}{ab-1},\quad-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}\left(ab\right)^{-m}S_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}$

untuk mempermudah notasi, ambil $T_{j}^{\pm}=\left(ab\right)^{-m}S_{j}^{\pm}$ dengan $j=1,2$ maka

$\left|T_{1}^{+}\right|\leq\frac{\pi}{ab-1},\quad-\left(-1\right)^{\alpha_{m}}T_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}$

Itu berarti, $T_{1}^{+}\in\left[-\frac{\pi}{ab-1},\frac{\pi}{ab-1}\right]$ sedangkan $T_{2}^{+}$ adalah bilangan (bisa positif atau negatif) diluar interval $\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$ . Berdasarkan asumsi $\frac{\pi}{ab-1}<\frac{2}{3}$ maka $\left(ab\right)^{-m}D_{m}^{+}W=T_{1}^{+}+T_{2}^{+}$ adalah bilangan dengan nilai mutlak lebih besar dari $\frac{2}{3}-\frac{\pi}{ab-1}$ . Dengan kata lain, saat $m\rightarrow\infty$ maka $\left(ab\right)^{-m}D_{m}^{+}W$ tidak mendekati nol, padahal $\left(ab\right)^{-m}\rightarrow0$ saat $m\rightarrow\infty$ .

Hal tersebut membuktikan turunan kanan dari $W$ di $x_0$ tidak ada, dannilai mutlaknya menuju tak hingga. Ini sudah cukup membuktikan Teorema.

Perhatikan, dengan cara yang sama, diperoleh

$\left|T_{1}^{-}\right|\leq\frac{\pi}{ab-1},\quad\left(-1\right)^{\alpha_{m}}T_{2}^{+}\geq\frac{2}{3}$

Itu artinya nilai mutlak $D_{m}^{-}W$ menuju tak hingga saat mendekati $x_0$ dari kiri. Akan tetapi yang menarik $T_{2}^{+}$ dan $T_{2}^{-}$ mempunyai tanda yang berbeda, yang berarti fungsi $W$ tidak hanya tak terturun di semua titik, tetapi semua titik jika didekati dari kiri dan kanan mempunyai kemiringan tak hingga besarnya dengan tanda yang berlawanan. Itu artinya di setiap titik, fungsi $W$ akan naik-turun dengan kemiringan tak-terhingga.

Kredit Gambar: Wikipedia

10 Responses to Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

marthin says:

March 23, 2017 at 17:14

matematika memang indah tetapi mumet mas

Saefurrohman says:

June 5, 2012 at 13:55

amazing, Math is really amazing….
kereen mas 😀

M says:

January 22, 2012 at 14:17

bisa tunjukkan grafik-grafik lain beserta fungsinya juga gak mas?

HIMMAT4us says:

January 18, 2012 at 00:39

unik dan menarik.
bisa jelasin lebih sederhana lagi mas.
belum menjangakau mas kesitu.

M says:

January 17, 2012 at 11:31

Wew…
Itu kayak fungsi fraktal ya.

Mas, bisa bahas tentang fungsi fraktal gak?

- Aria Turns says:
  
  January 18, 2012 at 16:27
  
  Fractal itu bukan fungsi tapi bentuk geometris. Grafik Fungsi Weierstrass adalah bentuk fractal yang pertamakali diketahui oleh para matematikawan
  
Lukman gaffar says:

January 11, 2012 at 10:41

Ternyata ada ya fungsi seperti ini,,,keren bangettt,,,,,,,,,,,,,,,,,

sari azzahra says:

January 10, 2012 at 22:00

banyak hal unik di blog ini..
mau nanya mas,, dr mana dapat referensi nya mas..
makasiii..

- Aria Turns says:
  
  January 12, 2012 at 08:57
  
  Hampir senua referensi saya dapat di internet
  
bijak says:

January 9, 2012 at 15:56

wah keren sekali fungsi ini

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…
	Maya W on Pembuktian satu kali satu sama…