Dalam Teori Bilangan, kita mengenal Teorema Fundamental aritmatika yang mengatakan setiap bilangan dapat dipecah menjadi faktor-faktor prima dan faktor-faktor prima tersebut tunggal.

Nah… pada teori grup ada konsep yang mirip.

Barisan Komposisi

Barisan komposisi adalah cara memecah grup menjadi grup-grup sederhana.

Definsi: Suatu grup dikatakan sederhana jika hanya mempunyai subgrup normal:  dan dirinya sendiri.

Karena hanya mempunyai subgrup normal:   dan dirinya sendiri maka grup sederhana hanya mempunyai grup faktor:  dan dirinya sendiri. Serupa dengan bilangan prima, ya kan?

Sekarang kita lihat definisi formal dari barisan komposisi.

Definsi: Barisan komposisi dari suatu grup adalah rantai berhinga dari subgrup:

Yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Untuk , berlaku   adalah subgrup normal dari

2. Grup faktor adalah sederhana dan grup-grup faktor

disebut komposisi faktor.

Nah..tidak semua grup mempunyai barisan komposisi lho.

Teorema: Semua Grup berhingga mempunyai barisan komposisi.

Jadi hanya grup berhingga dijamin mempunyai barisan komposisi, sedengkan grup tak hingga belum tentu.

Teorema Jordan Holder

Suatu Grup bisa saja mempunyai barisan komposisi tetapi semua barisan komposisi tersebut ekuivalent, yang maksudnya mempunyai panjang yang sama dan faktor komposisi yang sama.

Teorema Jordan Hölder: Diberikan grup yang mempunyai barisan komposisi maka sebarang 2 barisan komposisi mempunyai panjang yang sama, misalkan

dan

serta terdapat permutasi  dari  sehingga untuk setiap  berlaku

Contoh:

Barisan dari grup siklik adalah

Dan faktor komposisinya adalah:

Dari contoh diatas bisa kita lihat   mempunyai 3 barisan komposisi yang sama panjang dan faktor-faktor komposisi yang sama cuman berbeda urutannya saja.