Teorema Sylow

Posted on July 22, 2012 by Nursatria

Teorema Lagrange menyatakan jika G grup berhingga dan H subgrup dari G maka order dari H akan membagi order dari G.

Pertanyaannya, apakah sebaliknya berlaku. Jika  G berorder n dan m membagi  n. Apakah akan selalau ada subgrup dari  G yang beroder m.

Jawabannya Tidak, contohnya: A_5 berorder 60 dan jelas 15 membagi 60 tetapi A_5 tidak mempunyai subgrup berorder 15.

Teorema Sylow memberikan kebalikan parsial dari Teorema Lagrange. Menurut teorema Sylow jika G berorder m maka akan terdapat subgrup berorder p^n dengan p prima dan p^n membagi m

Nah.. subgrup berorder p^n, dinamakan subgrup p-sylow.

Defenisi: Diberikan bilangan prima p, Suatu subgrup dinamaka p-subgrup jika berorder p^j unntuk suatu j\in\mathbb{N}. Sedangkan subgrup  p-sylow dari suatu grup hingga G berorder n adalah subgrup S  berorder  p^k dengan k\in\mathbb{N} berlaku p^{k}\mid n dan p^{k+1}\nmid n.

Jadi subgrup  p-sylow adalah p-subgrup maksimal dari suatu grup berhingga yang mempunyai pangkat terbesar yang membagi order dari grup berhingga tersebut. Teorema sylow menyatakan subgrup p-sylow itu eksis dan memberikan beberapa sifat dari subgrup p-sylow.

Teorema Sylow: Diberikan Grup berhingga G berorder n dan bilangan prima p. . Jika p^{k}\mid n maka berlaku

  1. G memuat subgrup  p-sylow
  2. Jika n_p adalah banyaknya subgrup  p-sylow maka berlaku n_{p}\mid n dan  n_{p}\equiv1\mod p
  3. Semua subgrup  p-sylow saling konjugasi.
  4. Setiap p-subgrup termuat didalam subgrup p-sylow

Selanjutnya penjelasan setiap point dari teorema sylow

Point 1, menjamin keberadan subgrup  p-sylow. Suatu grup berhingga bisa mempunyai beberapa grup sylow dengan order berbeda.

Contoh: Grup berorder 168 akan mempunyai  subgrup  p-sylow dengan order:

p^0, 3^1, 7^1, 2^3,

Note: p^0=1, adalah subgrup trivial, jadi setiap subgrup trivial dengan sendirinya merupakan  subgrup  p-sylow.

Order-order diatas adalah banyaknya pangkat terbesar dari bilangan prima yang membagi 168.

Point 2: menyatakan boleh saja suatu grup berorder n memmpunyai beberapa subgrup  p-sylow asalakan banayaknya membagi n dan kongruent ke 1 mod p.

Contoh: Diberikan G beroder 60 maka G akan memepunyai subgrup  p-sylow berorder 2^2 sebanayak 1, 3, 5 atau 15, Berapa tepatnya tergantung dari operasi binernya.

Point 3. Jika H dan  K adalah subgrup  p-sylow berorder sama dari suatu grup hingga $latexG$ maka akan terdapat g\in G sedemikian hingga g^{-1}Hg=K.

Point 4 menyatakan jika Jika H adalah subgrup  p-sylow berorder p^n maka p-subgrup berorder  p^0,  p^1,  p^2 sampai dengan  p^{n-1} termuat didalam H

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , . Bookmark the permalink.

14 Responses to Teorema Sylow

  1. Dea says:
    July 2, 2017 at 09:56

    Banyaknya p-subgrup Sylow itu tergantung dari operasi binernya maksudnya gimana?
    Bisa diberi contohnya

    Reply
  2. Murniati Suardi says:
    March 20, 2013 at 07:48

    saya mau ad referensi dri bku… dibuku mna ad materi sylow ya??

    Reply
  3. mahfudzryuzakiki says:
    January 23, 2013 at 13:52

    Um… bang satria, bisa saya minta e-book yang membahas teorema sylow yang bang satria bahas ini ndak? soalx kalo di buku Thomas J. Wudson ada yang kurang saya ngerti. Makasih ^_^

    Reply
  4. machin2104 says:
    August 10, 2012 at 21:41

    mas gimana caranya nulis ekspresi matematika kayak yang di blog mas? kog rapi bagus?
    saya kebingungan mau nulis kayak gitu ga bisa.

    maaf ga nyambung dengan materinya mas, soalnya saya juga pengin berbagi pengetahuan meskipun jauh dari bisa. trimakasih sebelumnya.

    Reply
  5. aab says:
    July 29, 2012 at 23:20

    mas Aria ikut nimbrung, saya mau tanya, maaf ya kalau hampir jauh dengan aljabar.
    existence dan uniqueness dari PD itu selalu gandengan tha?

    Reply
  6. john huckelberg says:
    July 24, 2012 at 22:19

    Mas Aria,
    Saya mohon komentar anda tentang pernyataan di bawah ini:
    If all the assertions which mathematics puts forward can be derived from one another by formal logic, mathematics cannot amount to anything more than an immense tautology. Logical inference can teach us nothing essentially new, and if everything is to proceed from the principle of identity, everything must be reducible to it. But can we really allow that these theorems which fill so many books serve no other purpose than to say in a roundabout fashion ‘A=A’?

    * (Poincaré) *

    Reply
    • Aria Turns says:
      July 25, 2012 at 06:07

      Yang saya pahami Poincare bertanya apakah ilmu logika hanya bertautologi (ber retorika) muter-muter doang?
      Jawaban saya: Pas.. 🙂 saya belum kompoten pertanyaan tersebut

      Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s