Di Matematika, salah satu cara mendapatkan konsep baru adalah menggabungkan 2 konsep yang sudah ada. Contohnya Topological Grup yang merupakan gabungan Grup dan Ruang Topologi. Grup Topological adalah suatu grup yang dilengkapi topologi pada dengan operasi binernya dan fungsi inversnya adalah fungsi kontinyu menurut topologi. Secara formal didefiniskan sebagai berikut:

Definisi: Grup Topological adalah grup yang dilengkapi topologi pada dan berlaku aksioma-aksioma berikut:

(i) Terdapat fungsi kontinyu   yang didefiniskan  dengan dilengkapi dengan produk topologi

(ii) Terdapat fungsi invers kontinyu  yang didefinsikan .

Nah.. sekarang perhatikan aksioma (i) ekuivalent dengan pernyataan, untuk sebarang himpunan terbuka  dan  maka terdapat himpunan terbuka dengan  dan . Sedangkan aksioma (ii) ekuivalent dengan menunjukkan untuk sebarang himpuan terbuka  maka  adalah himpunan terbuka juga.

Contoh Grup Topological

1. Setiap Grup dengan topologi Diskrit adalah Grup Topologi
2. Setiap Grup dengan topologi indiskrit adalah Grup Topologi
3. dengan topology Euclidean.
4. Grup Lie
5. general linear group

Semua Grup bisa dijadikan Grup topological akan tetapi belum tentu Grup yang dilengkapi Topologi akan menjadi Grup Topological.

Contoh:  yang dilengkapi oleh Topologi dengan  dan sebgai himpunan-himpunan terbukanya. Grup bukanlah Grup Topological. Mengapa? karena  bukanlah himpunan terbuka pada produk topologi 

Kalau begitu, bagaimana kita bisa mengetahui suatu grup yang dilengkapi topologi adalah Grup Topological? Teorema berikut akan menjawabnya.

Teorema: Diberikan Grup Topological , untuk suatu  maka pemetaan  dan yang didefiniskan  dan  adalah homeomorfisma.

Sekarang kita lihat aplikasi Teorema diatas.

Contoh: Diberikan  dengan topologi sebagai berikut:  adalah himpunan terbuka jika bukan  atau . Jelas itu merupakan Topologi Hausdrofft Berdasarkan Teorema diatas bukanlah Grup topological karena  memetakan himpunan terbuka  ke . Padahal bukanlah himpunan terbuka.