Saya perkenalkan ke kalian Bilangan Tak tersentuh (untouchable number). Saya yakin kalian belum pernah mendengarnya

Apa itu bilangan Tak tersentuh?

Bilangan tak tersentuh adalah bilangan asli n yang bukan merupakan hasil penjumlahan semua pembagi sejati (proper divisor) dari sebarang bilangan asli. Dengan kata lain Bilangan tak tersentuh adalah bilangan asli n yang tidak mempunyai bilangan asli m sedemikian hingga

Jadi bilangan tak tesentuh adalah bilangan yang tidak dapat “disentuh” oleh penjumlahan pembagi sejati dari sebarang bilangan.

Sebagai contoh, 5 adalah bilangan tak tersentuh karena 5=1+4 adalah satu-satunya cara menuliskan 5 sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan asli yang berbeda dan memuat 1. Jika 4 membagi suatu bilangan maka 2 juga, jadi 4+1 bukanlah penjumlahan pembagi-pembagi sejati dari suatu bilangan (karena jika 4 pembagi sejati maka 2 juga). Sedangkan 4 bukanlah bilangan tak tersentuh karena merupakan penjumlahan semua pembagi asli dari 9 (pembagai asli dari 9 adalah 1 dan 3).

Jelas tidak  ada bilangan sempurna yang menjadi bilangan  tak tersentuh. Tidak ada bilangan tak tersentuh yang berbentuk p+1 dengan p bilangan prima karena pembagai asli dari p² adalah 1 dan p. Begitu pula tidak ada bilangan tak tersentuh yang berbentuk p+2+1 karena 2p mempunyai pembagi sejati 1, 2 dan p.

Beberapa bilangan tak tersentuh yang pertama.

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, …

Paul Erdős membuktikan bawa ada tak hingga banyaknya bilangan tak tersentuh. Konsep bilangan tak tesentuh menyisakan 1 persoalan yang sampai detik ini belum mampu dijawab oleh para Matematikawan

Apakah 5 satu-satunya bilangan tak tersentuh ganjil?

Sumber gambar: asianefficiency.com