Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola

Postingan kemarin, saya membahas bagaimana rumus volume limas diperoleh. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}  diperoleh.

Diketahui  persamaan lingkaran dengan jari-jari r dengan titik pusat berada di titik asal pada kordinat kartesius adalah

x^2+y^2=r

solusi untuk y:

y=\pm\sqrt{r^{2}-x^{2}}

Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas

y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

fungsi y=\sqrt{r^{2}-r^{2}} kontinyu pada interval \left[-r,r\right]. Jika setengah lingkaran tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk memperoleh volumenya.

V=\pi\int_{-r}^{r}y^{2}dx

V=\pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}dx

v=\pi\int_{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx

V=\pi r^{2}x-\pi\frac{1}{3}x^{3}|_{x=-r}^{x=r}

V=\left(\pi r^{2}r-\pi\frac{1}{3}r^{3}\right)-\left(\pi r^{2}\left(-r\right)-\pi\frac{1}{3}\left(-r\right)^{3}\right)

V=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}

{\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

Voila, kita mendapatkan rumus volume bola.

Selanjutnya kita akan membahas rumus luas permukaan Bola 4\pi r^{2}

Darimana rumus luas permukaan bola diperoleh?

Bayangkan sebua bola dengan jari-jari r tersusun dari potongan-potongan berbentuk limas sebanyak n→∞. Semua limas mempunyai tinggi r dan mempunyai titik puncak di titik pusat bola perhatikan gambar dibawah

Jadi permukaan bola tersusun dari alas-alas limas. Misalkan luas permukaan alas limas dari yang pertama sampai ke-n adalah L_{1},L_{2}\ldots,L_{n} maka luas permukaan bola adalah penjumlahan semua luas alas limas.

LB=L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}.

Karena bola tersusun dari potongan-potongan limas maka volume bola adalah hasil penjumlahan semua volume limas.

V=\frac{1}{3}rL_{1}+\frac{1}{3}rL_{2}+\ldots+\frac{1}{3}rL_{n}

V=\frac{1}{3}r\left(L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}\right)

V=\frac{1}{3}rLB

Telah kita bahas diatas bahwa volume bola adalah {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{1}{3}rLB

4\pi r^{2}=LB

Voila kita mendapatkan rumus permukaan bola 4\pi r^{2}.

Sumber gambar: mathschallenge.net dan proofwiki.org

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in geometri, pembuktian and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

14 Responses to Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola

  1. zukaarimoto says:

    saya ingin bertanya,dalam mencari rumus luas permukaan bola dengan menggunakan limas sebagai bangun ruang yang membantu dalam mencari luas permukaan,apakah harus limas segi empat,atau jenisnya bisa yg lain?

  2. Maesaroh says:

    maaf sebelumnya,sya belum mengerti yg mencari luas permukaan nya.. bisa dijelaskan cara perhitungan dari 1/3rLB jadi 3/4 phi r(kubik)..

  3. Rahadian Bayu says:

    Bagus banget ini,ada gk yg tentang pembuktian rumus setengah bola padat..

  4. Agatha Sinta says:

    cukup membantu,thanks

  5. Tri Suharsono says:

    Maaf, mas, saya bukan praktisi matematika, walaupun saya suka matematika. Saya mampir ke situs ini aja karena PR anak saya. 🙂

    Saya tidak mengomentari materi sampeyan, karena menurut saya, materinya bagus-bagus. Cuma ada satu yang agak mengganjal, yaitu ucapan ‘VIOLA’ di akhir postingan. Menurut pengetahuan saya yang terbatas, seharusnya bunyinya ‘VOILA’. Itu-pun kata guru bahasa Perancis saya belasan tahun yang lalu :D.

    Sebelumnya mohon maaf.

  6. Athirah says:

    makasih ya ilmunya.. 😀
    tapi,ada cara yang lebih simpel dan gak ribet nggak?

  7. ramayana says:

    makasih banyak ilmunya,kita sdh ambil manfaatnya.
    salam

  8. zaenuri says:

    Ok mas terima kasih, ada cara lain gak agar bisa dipahami oleh siswa SMP?

  9. Pingback: Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola « Erli Oktafia Silitonga's Weblog

  10. akio says:

    ruet yaaaa
    pake limit segala

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s