Memperoleh volume bola dimensi ke-n

Boleh dibilang ini adalah lanjutan dari postingan sebelumnya. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola dimensi ke-n diperoleh. Dinotasikan n-bola adalah bola pada dimensi ke-n dan $V_n(r)$ adalah volume n-bola dengan jari-jari $r$ , diasumsikan titik tengah bola berada di titik asal.

Konsep dasar untuk memperoleh rumus $V_n$ sebagai berikut:

Potong n-bola menjadi potongan-potongan berbentuk n-cakram (cakram dimensi ke-n) dengan alas cakram berentuk (n-1) bola. Dengan kata lain kita bisa memandang n-bola tersusun dari n-cakram sebanyak n. Contoh:3-bola tersusun dari 3-cakram yang alasnya berbentuk 2-bola (lingkaran)
Hitung satu-persatu volume n-tabung kemudian jumlahkan semuanya untuk memperoleh $V_n$ .

Secara integral, konsep diatas dapat dirumuskan menjadi $V_{n}(r)=\intop_{-r}^{r}V_{n-1}\left(\rho \right)dz$ dengan $\rho$ adalah jari-jari n-cakram dan $dz$ adalah ketinggian/ketebalan cakram

Hubungan $\rho$ dan $r$ adalah $\rho=r\sin\theta$ , selanjutnya kita ubah $V_{n}(r)=\intop_{-r}^{r}V_{n-1}\left(\rho \right)dz$ ke dalam koordinat polar

(i) $V_{n}\left(r\right)=r\intop_{0}^{\pi}\sin\theta V_{n-1}\left(r\sin\theta\right)d\theta$

Jika (i), dijabarkan, diperoleh

(ii) $V_{n}\left(r\right)=r^{n}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{n-1}\theta d\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}\theta d\theta\ldots\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta$

Tidak mudah menghitung (ii), kita harus melakuakan sedikit trik, didefinisikan.

$\alpha\left(n\right)=\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta\alpha\left(n-1\right)d\theta=\alpha\left(n-1\right)\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta$

atau

$\alpha\left(n\right)=I\left(n\right)\alpha\left(n-1\right)$ dengan $I\left(n\right)=\int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta$ .

Jadi

(iii) $\alpha\left(n\right)=I\left(n\right)I\left(n-1\right)\ldots I\left(2\right)\alpha\left(1\right)$ .

Persamaan (ii) dapat kita ubah menjadi $V_{n}\left(r\right)=r^{n}\alpha\left(n\right)$ .

Selanjutnya kita akan membahas sifat-sifat $I\left(n\right)$

$I\left(0\right)=\int_{0}^{\pi}d\theta=\pi,\; I\left(1\right)=\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta=\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi}=2$ .

Untuk $n\geq2$ , kita akan menggunakan integral bagian

$\begin{array}{ccc} I\left(n\right) & = & \int_{0}^{\pi}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\pi}\sin\theta\sin^{n-1}\theta d\theta\\ & = & \left[-\cos\theta\sin^{n-1}\theta\right]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\left(n-1\right)\sin^{n-1}\theta d\theta\\ & = & \left(n-1\right)\int_{0}^{\pi}\left(1-\sin^{2}\theta\right)\sin^{n-2}\theta d\theta\\ & = & \left(n-1\right)\left[I\left(n-2\right)-I\left(n\right)\right] \end{array}$

Diperoleh

(iv) $I\left(n\right)=\frac{n-1}{n}I\left(n-2\right),\quad n\geq2$ .

dengan mudah dapat dihitung $I\left(2\right)=\frac{1}{2}I\left(0\right)=\frac{1}{2}\pi$ , dari persamaan (iv), didapat

(v) $I\left(n\right)I\left(n-1\right)=\frac{n-2}{n}I\left(n-2\right)I\left(n-3\right),\: n\geq3$

Dari persamaan (v) didapat:

$\begin{array}{ccc} I\left(2k+1\right)I\left(2k\right)\ldots I\left(0\right) & = & \frac{2k-1}{2k+1}\left[I\left(2k-1\right)I\left(I(2k-2\right)\right]^{2}\ldots\\ & = & \frac{2k-1}{2k+1}\left(\frac{2k-3}{2k-1}\right)^{2}\left[I\left(2k-3\right)I\left(I(2k-4\right)\right]^{2}\ldots\\ & = & \frac{1}{2k+1}\frac{1}{2k-1}\ldots\frac{1}{3}\left[I\left(1\right)I\left(0\right)\right]^{k+1} \end{array}$

Didapat:

(vi) $\Pi\left(2k+1\right)=\frac{k!}{\left(2k-1\right)}2^{2k+1}\pi^{k+1}$ dengan

$\Pi\left(n\right)=I\left(n\right)I\left(n-1\right)I\left(n-2\right)\ldots I\left(1\right)I\left(0\right)$

dengan cara yang sama diperoleh:

$\begin{array}{ccc} I\left(2k\right)I\left(2k-1\right)\ldots I\left(0\right) & = & \frac{2k-2}{2k}\left[I\left(2k-2\right)I\left(I(2k-3\right)\right]^{2}\ldots\\ & = & \frac{2k-2}{2k}\left(\frac{2k-4}{2k-2}\right)^{2}\left[I\left(2k-4\right)I\left(I(2k-5\right)\right]^{5}\ldots\\ & = & \frac{1}{2k}\frac{1}{2k-2}\ldots\frac{1}{4}2^{2k-1}\left[I\left(2\right)I\left(1\right)\right]^{k}I\left(0\right) \end{array}$

diperoleh

(vii) $\Pi\left(2k\right)=\frac{1}{k!}\pi^{k+1}$

Diketahui $\alpha\left(n\right)=\frac{\Pi\left(n\right)}{I\left(1\right)I\left(0\right)}\alpha\left(1\right)$ karena $\alpha\left(1\right)=2$ , diperoleh $\alpha\left(n\right)=\frac{\Pi\left(n\right)}{2\pi}2=\frac{\Pi\left(n\right)}{\pi}$ . Gunakan persamaan (vi) dan (vii), diperoleh:

$V_{2k}\left(r\right)=\alpha\left(2k\right)r^{2k}=\frac{1}{k!}\pi^{k}r^{2k}$ karena $\alpha\left(2k\right)=\frac{1}{k!}\pi^{k}$
$V_{2k+1}\left(r\right)=\alpha\left(2k+1\right)r^{2k}=\frac{k!}{\left(2k-1\right)}2^{2k+1}\pi^{k}r^{2k+1}$ karena $\alpha\left(2k+1\right)=\frac{k!}{\left(2k-1\right)}2^{2k+1}\pi^{k}$

Kesimpulan:

Volume 2k-bola dan (2k+1)-bola dengan jari-jari $r$ adalah

$V_{2k}\left(r\right)=\frac{1}{k!}\pi^{k}r^{2k}$ dan $V_{2k+1}\left(r\right)=2^{2k+1}\pi^{k}r^{2k+1}$

Referensi: A E Lawrence, The volume of an n-dimensional hypersphere

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

3 Responses to Memperoleh volume bola dimensi ke-n

ikhsan says:

February 21, 2014 at 13:49

wah materinya jujur menarik kak kalau boleh nanya yg bagian i itu bisa ke ii kayak gimana ya kak, terus yang bagian iv kan sudah di cari n>= 2 tapi kok di bagian v mesti di cari juga yang >= 3 kan 3 itu lebih dari dua, terus dari mana kak yang v itu di dapet masalahnya kan ad pengantarnya kayak yg iv terimakasih mohon pencerahanya 🙂

- Aria Turns says:
  
  February 21, 2014 at 19:25
  
  (i) ke (ii) adalah penjabaran $V_1$ sampai dengan $latex V_{n-1}.
  Kan persamaan di (iv) dan di (v) beda.
  Di (iv) kita mendapat persmaan I(n), dicari bentuk I(n-1) didapatlah (v) yaitu I(n)I(n-1)
  
  - ikhsan says:
    
    February 21, 2014 at 20:02
    
    oh iya, nah kak yg kenapa N>= 4 gak di cari juga,
    terus yg di dapat dari pesamaan v itu kan mencari volume bola di dimensi ganjil nah di penjabarannya itu agak dag ngerti kak kok bisa ada kuadratnya ya kak di bagian itu udah di otak atik masih blm dapet

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…
	Maya W on Pembuktian satu kali satu sama…