Bagi kalian yang mempelajari analisis real khususnya materi mengenai barisan Cauchy, tentunya mengenal teorema berikut

Teorema: Suatu barisan di bilangan real adalah cauchy jika hanya jika barisan tersebut konvergen

Teorema diatas sering disebut Kriteria Konvergensi Cauchy. Nah..apakah kalian tahu bahwa ada barisan Cauchy yang tidak konvergen? Wah.. kok bisa? Apa itu berarti teorema diatas salah? Tenang saja.. teorema tersebut benar tetapi tetapi teorema tersebut hanya berlaku di Billangan real, untuk ruang lain selain bilangan real belum tentu berlaku.

Sekarang mari kita lihat, contoh barisan cauchy yang tidak konvergen

1. Didefiniskan barisan  dan , dengan mudah diketahui merupakan barisan Cauchy tetapi tidak konvergen di karena .
2. Didefinisikan barisan  pada . Barisan  Cauchy tetapi tidak konvergen di .. Karena .

Dari 2 contoh diatas bisa kita lihat sebenarnya dan sebenarnya mempunyai limit akan tetapi limitnya tidak berada didalam ruang dimana dan berada. Nah.. ini lah yang saya maksud dengan tidak konvergen.

Secara umum suatu ruang Metrik dikatakan komplit jika setiap barisan cauchy di konvergen ke suatu titik dimana titik tersebut berada didalam . Contoh ruang Metrik komplit adalah Bilangan Real. Dari 2 contoh diatas bisa kita simpulkan  dan  bukanlah ruang Metrik komplit.

Jika didalam Metrik tidak komplit, suatu barisan cauchy belum tentu konvergen,apakah sebaliknya juga berlaku?

Apakah barisan konvergen belum tentu cauchy didalam Metrik tidak komplit?

Jawabannya TIDAK

Teorema: Diberikan sebarang metrik , setiap barisan konvergen di adalah Cauchy.

Bukti: 

Diberikan barisan di yang konvergen ke  dan 

Itu berarti 

Karena  konvergen ke , diperoleh

dengan cara yang sama:

Jika dan   maka

Terbukti bariasan Cauchy