Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

Saya pernah mengatakan bahwa Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) adalah Teorema yang paling mengagumkan. Sekarang mari kita buktikan TFK. TFK adalah cara kita menghitung integral tentu $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx$ dengan menggunakan anti-turunan dari $f(x)$ .

Definisi: Diberikan $f$ adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup $\left[a,b\right]$ . Kita bagi $\left[a,b\right]$ menjadi $n$ interval bagian yang sama panjang $\left[a=x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}=b\right]$ dengan panjang setiap interval bagian adalah $\Delta x=\left(b-a\right)/n$ . Untuk sebarang $c_{i}\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ dengan $i=1,2,3,\ldots,n$ maka integral tentu pada $f$ dari $a$ ke $b$ didefiniskan

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(c_{i}\right)\Delta x$

integral tentu

Teorema Fundamental kalkulus (TFK) : Diberikan $f$ adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup $\left[a,b\right]$ maka

${\textstyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

dengan $F$ adalah anti-turunan dari $f$ , dengan kata lain $F'=f$

Bukti:

Dari definisi integral tentu diatas, diketahui $\left[a=x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}=b\right]$ merupakan interval-interval bagian dari $\left[a,b\right]$ , diperoleh

$\begin{array}{ccc}F\left(b\right)-F\left(a\right) & = & F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{0}\right)\\& = & F\left(x_{n}\right)+\left(-F\left(x_{n-1}\right)+F\left(x_{n-1}\right)\right)+\ldots+\left(-F\left(x_{1}\right)+F\left(x_{1}\right)\right)-F\left(x_{0}\right) \\& = & \left(F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{n-1}\right)\right)+\ldots+\left(F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{0}\right)\right)\\F\left(b\right)-F\left(a\right) & = & \sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)\end{array}$

Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat $c_{i}\in\left[x_{i-1},x_{i}\right]$ sedemikian hingga

$F'\left(c_{i}\right)=\frac{F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)}{x_{i}-x_{i-1}}=\frac{F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)}{\Delta x}$ .

maka

$F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)=F'\left(c_{i}\right)\Delta x$

Karena $F$ adalah anti-turunan dari $f$ , itu berarti $F'\left(c_{i}\right)=f\left(c_{i}\right)$ , diperoleh:

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\sum_{i=1}^{n}f\left(c_{i}\right)\Delta x$

Dengan mengambil limit untuk $n\rightarrow\infty$ , diperoleh

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx$

QED

Catatan:

Beberapa literatur bahkan termasuk wikipedia menyatakan bahwa TFK terbagi 2 bagian, yang kita bahas diatas adalah bagiak ke-dua. Sedangkan bagian pertamanya menyatalan:

Bagian I TFK: Diberikan $f$ adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup $\left[a,b\right]$ dan didefiniskan fungsi $F$ sebagai berikut

$F\left(x\right)=\int_{a}^{x}f\left(t\right)\, dt$

untuk setiap $x\in\left[a,b\right]$ maka $F$ terturun pada $\left[a,b\right]$ dan $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$

Pada buku Introduction to Real Analysis, Bartle menyebut bagian I TFC dengan sebutan differentiation Theorem

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

10 Responses to Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

Sri says:

September 17, 2013 at 11:40

Saya ingin bertanya bagaimana cara membuktikan teorema – teorema limit di satu titik, bisa tolong diberi tahu via email atau mungkin tolong dibuatkan sebuah postingan. terimakasih,,,

Herry PS says:

January 2, 2013 at 22:20

Perlu ditekankan juga bahwa integral yang dipakai adalah integral Riemann karena di sini kita hanya tertarik untuk mengintegralkan fungsi kontinu yang terdefinisi pada interval tertutup dan terbatas

- Aria Turns says:
  
  January 3, 2013 at 17:21
  
  heuh integral riemanan kalau intervalnya tidak terbatnya cocknya kan pake integral Lebesgue
  
  - Herry PS says:
    
    January 4, 2013 at 03:36
    
    kalau interval tak terbatas ya tergantung integrandnya, bisa pake integral Riemann tak wajar, integral Lebesgue atau integral Henstock
    
Joni Parlindungan Nainggolan says:

December 31, 2012 at 20:05

mantap bro artikelnya….jadi inget waktu kuliah pas di semester 2….dapat kalkulus integral….kalkulus itu susah susah gampang…..harus banyak latihan….

aimprof08 says:

December 23, 2012 at 19:22

sepertinya kurang $F(x_0)$ di baris ke-4 pada “BUKTI” nya pak

- Aria Turns says:
  
  December 24, 2012 at 09:24
  
  Oh iya, thaks atas koreksiny 🙂
  
  - Nisa Al-Fatihah says:
    
    December 27, 2012 at 14:52
    
    Bukannya itu bertanda minus??
    
    - Aria Turns says:
      
      December 29, 2012 at 14:35
      
      oh heuh… thanks 🙂
      
alfainvers says:

December 23, 2012 at 11:41

Assalammualaikum
salam kenal [lagi] mas arya…
mantap, jadi inget kalkulus-1 d tingkat 1, baru kena makna TFC pas dapet matkul analisis real & metode numerik di tingkat 2.

	Hajirin on Review The God Delusion
	Laili Islehatin on himpunan terbuka dan tertutup…
	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …