Super Sempurna

Posted on January 21, 2013 by Nursatria

Sumber: jointhecosplaynation.tumblr.com

Di Teori Bilangan ada definisi bilangan Super Sempurna yang diperkenalkan oleh Suryanarayana (1969). Bilangan super Sempurna merupakan pengembangan dari bilangan sempurna.

Untuk memahami bilangan super Sempurna, terlebih dulu  kita harus paham fungsi pembagi ( divisors function).

Definisi: Diberikan bilangan asli n, fungsi pembagi \sigma\left(n\right) adalah jumlah semua pembagi dari n

Contoh :  \sigma\left(6\right)=12 karena semua pembagi dari 6 adalah: 1,2,3, dan 6.  Untuk 5 diperoleh \sigma\left(5\right)=1+5=6.

Berdasarkan definisi fungsi pembagi kita memperoleh definsi bilangan sempuna sebagai berikut.

Definisi: Bilangan asli n adalah bilangan sempurna jika \sigma\left(n\right)=2n

Contoh: 6 adalah bilangan sempurna karena \sigma\left(6\right)=1+2+3+6=12=2\cdot6

Sedangkan bilangan super Sempurna didefinisikan sebagai berikut:

Bilangan super Sempurna adalah bilangan asli n yang memenuhi  \sigma^{2}\left(n\right)=\sigma\left(\sigma\left(n\right)\right)=2n.

Contoh: 16 adalah bilangan super Sempurna karena \sigma\left(16\right)=31 diperoleh  \sigma^{2}\left(16\right)=\sigma\left(31\right)=32=2\cdot16.

Dari definisi bilangan super Sempurna dengan mudah kita lihat memang bilangan tersebut merupakan pengembangan dari bilangan sempurna.

Beberapa bilangan super Sempurna yang pertama adalah: 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

Teorema: Jika n adalah bilangan super Sempurna maka n=2^{p-1} dengan 2^{p}-1 adalah prima Mersenne.

Serupa dengan bilangan sempurna sampai detik ini keberadaan bilanagan super sempurna ganjil masih misterius, apakah ada atau tidak.

Generalisasi

Bilangan super sempurna-m adalah bilangan asli yang memenuhi \sigma^{m}\left(n\right)=2n, sedangkan bilangan sempurna-(m,k) adalah bilangan yang memenuhi \sigma^{m}\left(n\right)=kn.

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s