Semut meniti tali karet ajaib

semut meniti tali karet

Di Internet beredar teka-teki matematis yang solusinya boleh dibilang tidak masuk akal. Saya tidak tahu siapa yang pertama kali mempostinganya di Internet. Teka-tekinya sebagai berikut:

Ada seutas tali karet ajaib sepanjang 1 km, dikatakan ajaib karena tali karet tersebut dapat meregang tanpa henti. Pada saat t=0, tali tersebut memulai memeregang dengan kecepatan 1 km/s (Artinya setelah 1 detik panjangnya 2 km, setekah 2 detik menjadi 3 km begitu seterunya). Pada saat bersamaan sekor semut dari ujung tali mulai meniti tali dengan kecepatan 1 cm/s relatif terhadap regangan tali. Dapatkah semut mecapai ujung tali yang satunya lagi?

Banyak orang yang akan menjawab “tidak”. Kecepatan semut hanya 1 cm/s sedangkan kecepatan tali meregang adalah 1 km/s, jelas mustahil semut mencapai ujung yang satu lagi. Padahal secara matematis jawabannya “Ya” meskipun membutuhkan waktu yang teramat amat amat amat lama sekaliiii.

Untuk menjawab teka-teki diatas, kita harus mengasumsikan beberapa hal.

Tali terletak sejajar dengan sumbu axis, pada saat $t=0$ , titik awal terlatak di $x=0$ sedangkan titik tujuan terletak di $x=c$ dengan $c>0$
Pada saat $t>0$ , titik awal tetap di $x=0$ sedangkan titk tujuan menjadi $x=c+vt$ dengan $v$ adalah kecepatan regang tali.
Semut mulai berjalan saat $t=0$ dengan kecepatan konstan $\alpha>0$ relatif terhadap regangan tali

Yang saya garis bawahi adalah kata kunci untuk menjawab teka-teki diatas. Apa maksudnya? Maksudnya sekalipun semut itu diam pada posisi $X$ di tali maka semut tersebut akan tetap maju karena tertarik regangan tali dengan kecepatan proposional $\frac{vX}{c+vt}$ .

Jika posisi semut pada saat $t$ adalah $x\left(t\right)$ dengan $x\left(0\right)=0$ maka kecepatan sesaat semut pada saat $t$ adalah

(1) $x'\left(t\right)=\alpha+\frac{vx\left(t\right)}{c+vt}$ .

Kita mendapatkan PD (Persamaan Diferensial) Linier tingkat pertama. Dari teka-teki diatas diketahui bahwa

$\alpha=1cm/s=10^{-5}km/s,\, v=1km/s$ dan $c=1km$ .

maka persamaan (1) menjadi

(2) $x'\left(t\right)=10^{-5}+\frac{x\left(t\right)}{1+t}$

Biar mudah (Baca: Males ngitung 😀 ), saya minta bantuan wolframalpha, untuk mencari solusi persamaan (2)

$x\left(t\right)=\frac{\left(t+1\right)\ln\left(t+1\right)}{10^{5}}$

Titik tujuan adalah $t=c+vt=1+t$ , maka diperoleh

$1+t=\frac{\left(t+1\right)\ln\left(t+1\right)}{10^{5}}$

$10^{5}=\ln\left(t+1\right)$

$e^{100.000}-1=t$ .

Jadi semut butuh waktu $e^{100.000}-1$ detik untuk mencapai ujung tali yang satunya lagi, yang terikat pada roket. Btw berapa $e^{100.000}-1$ ? Sekitar $2,8\times10^{43.429}$ .