Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Pada Tahun 1875, Matematikawan Jerman Carl Johannes Thomae mendefinisikan suatu fungsi dengan sifat yang aneh bin ajaib. Fungsi  hanya kontinyu di bilangan irasional tetapi diskontinyu di bilangan rasional.

Fungsi  yang didefinisikan oleh Om Thomae diberi nama sesuai namanya Fungsi Thomae. Definisi fungsinya sebagai berikut:

Teorema: Fungsi Thomae kontinyu pada bilangan irasional tetapi diskontinyu pada bilangan rasional.

Bukti: Ambil maka terdapat deret irasional dengan padahal . Terbukti  diskontinyu di .

Selanjutnya ambil adalah bilangan irasional dan . Berdasarkan sifat Archimedean terdapat sedemikian hingga . Sekarang interval hanya mempunyai berhingga banyaknya bilangan rasional / pecahan yang penyebutnya kurang dari . Pilih sedemikian hingga tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut kurang dari . Diperoleh:

dan .

Terbukti  kontinyu pada bilangan irasional.

Fungsi Thomae sering disebut fungsi Popcorn karena grafiknya Seperti popcorn yang meletup-letup, Kata-kata suka menari-nari, Wajahmu suaramu selalu ku ingat, Membuatku menjadi tergila-gila di mesin pembuat popcorn.

Sumber Gambar: math.ucdavis.edu