Sumber: Nasa.gov

Dapat komentar pada postingan Pembuktian setiap ruang vektor mempunyai Basis

bagaimana dengan ruang vektor yang hanya berisi vektor 0 ?

Ruang vektor yang hanya berisi vektor 0 disebut Ruang Vektor trivial. Kita lihat lagi definisi Ruang Vektor

Definisi: Diberikan suatu lapangan , suatu Ruang vektor atas adalah Grup abelian (penjumlahan) , yang dilengkapi perkalian skalar yaitu fungsi , dinotasikan , sedemikian hingga untuk sebarang dan  berlaku:

(i)    

(ii)    

(iii)  

(iv)  

Elemen dari dikatakan vektor dan elemen dari dikatakan skalar.

Jadi ruang vektor trivial adalah . Silahkan kalian tunjukan sendiri bahwa ruang vektror trivial memenuhi ke-4 aksioma dari definisi diatas.

Sekarang mari kita lihat basis dari  ruang vektor trivial

Definisi: Suatu Basis dari ruang vektor atas lapangan adalah himpunan bagian dari yang bebas linier dan membangun .

Nah…sekarang kita periksa apakah bebas linier atau tidak? Tidak, Karena untuk sebarang   maka

Itu artinya basis ruang vektor trivial adalah himpunan kosong. Kita tahu yang dimaksud dengan Dimensi adalah banyaknya elemen dari basis.  Kita peroleh  dimensi dari ruang vektor trivial adalah nol. Ruang vektor Trivial mempunyai dimensi nol.

Teorema: Ruang vektor trivial jika hanya jika mempunyai dimensi nol

Bukti: Lihat saja di sini

Dari teorema diatas kita tahu, jika ada ruang vektor berdimesi nol maka pastilah trivial.