Pada bidang xy, suatu titik dikatakan titik Lattice, jika koordinatnya merupakan bilangan-bilangan bulat.

Contoh 1: (0,8), (8,2), (5,3) adalah titik lattice sedangkan (2/5, 6), (0.3, 3.4) bukan titik lattice.

Diberikan Segi- n Lattice yaitu suatu segi-n sederhana yang sudutnya terletak di titik Lattice , Teorema Pick memberikan cara mudah mengitung luas . Oya yang saya maksud dengan sederhana adalah segi-n tersebut tidak terdapat lubang dan sisi-sisinya tidak berpotongan satu sama lain.

Teorema Pick: Sebarang segi-n Lattice berlaku 

dengan banyaknya titik dalam yaitu titik lattice yang berada didalam dan banyaknya titik batas yaitu titik lattice yang menjadi batas dari .

Kita langsung masuk ke contoh soal aja yach.

Contoh 2:

Gambar 1

Dengan menggunakan teorema Pick, hitung luas segi-n dari gambar 1.

A: I = 0 , B = 4 diperoleh Luas A = 0 + 4/2 – 1 = 1

B: I = 0 , B = 3 diperoleh Luas B = 0 + 3/2 – 1 = 1/2

C:  I = 28, B = 26 diproleh Luas C = 28 + 26/2 – 1 = 40

D: I = 7, B = 12 diperoleh Luas D = 7 + 12/2 – 1 =12.

Untuk E dan F itung sendiri yach 🙂

Selanjutnya mari kita buktikan teorema Pick.

Bukti :

Untuk membuktikan Teorema Pick, kita menggunakan dua lemma berikut

Lemma 1: Sebarang segi-n Lattice tersusun dari segitiga-segitiga dasar.

Lemma 2: Luas dari segitiga dasar adalah 1/2.

Yang saya maksud dengan segitiga dasar adalah segitiga yang ketiga sudutnya terletak di titik Lattice, tidak mempunyai titik batas selain ketiga titik sudutnya dan juga tidak mempunyai titik Interior.

Gamabr 2: Gambaran suatu segi-n Lattice tersusun dari segitiga-segitiga dasar

Sekarang mari kita mulai pembuktiannya. Berdasarkan Lemma 1, kita tahu bahwa sebarang segi-n Lattice tersusun dari segitiga dasar. Sekarang kita jumlahkan sudut-sudut dari semua segitiga-segitiga dasar ini melalui dua cara. Di satu sisi Kita tahu bahwa jumlah sudut segitiga adalah maka jumlah semua sudut adalah . Di sisi lain, untuk setiap titik dalam , jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di adalah . Sedangkan pada titik batas yang bukan titik sudut, jumlah sudut segitiga-segitiga dasar yang bertemu di adalah .

Pada titik sudut, besar sudutnya tidak mencapai  tetapi kita tahu bahwa jumlah sudut (dalam) dari semua titik sudut pada suatu segi-n adalah dengan adalah banyaknya titik sudut.

Jika adalah banyaknya titik dalam dan banyaknya titik batas. Diperoleh jumlah sudut pada semau titik batas adalah   dan jumlah sudut pada semua titik dalam adalah . Itu berarti . Diketahui , diperoleh:

hilangkan , kita medapatkan

.

Berdasarkan Lemma 2 diketahui lua segitiga dasar adalah 1/2. Itu artinya , diperoleh

Referensi:

TWO BEAUTIFUL PROOFS OF PICK’S THEOREM. Manya Raman, Lars-Daniel Ohman, Ume ̊ University
Pick’s Theorem, Tom Davis