Anak kecil sekali pun tahu bahwa 2 dan 3 adalah bilangan yang berbeda, 2 bukanlah 3, 3 tidak sama dengan 2. Banyak orang orang yang beranggapan bahwa pernyataan 3 ≠ 2 adalah pernyataan yang amat jelas, trivial, tidak perlu dibuktikan lagi. Padahal dalam matematika, selama suatu pernyataan bukanlah aksioma, kita wajib menuntut pembuktian terhadap pernyataan tersebut.

Teorema: 3 ≠ 2

Segala sesuatu dalam matematika berdasarkan Aksioma. Aksioma dari Bilangan (asli) dinamakan Postulate Peano

Postulate Peano: Sistem bilangan asli memuat himpunan tak kosong dengan salah satu elemennya adalah 1 dan dilengkapi operasi biner + sedemikian hinnga belaku:

P1.  untuk semua

P2.  jika maka

P3.   untuk semua 

P3 . Jika adalah himpunan, dimana

1)

2) untuk semua

Maka

Sebelum kita membuktikan Teorema diatas dengan Postulate Peano, kita harus terlebih dahulu mendefinsikan  2 dan 3.

Definisi:  2 = 1 + 1 dan 3 = (1 + 1) + 1

Bukti:

Akan dibuktikan melalui kontradiksi

Asumsi 3 = 2, berdasarkan definsi 2 = 1 + 1 dan 3 = (1 + 1) + 1 diperoleh

 (1 + 1) + 1 = 1 + 1

Berdasarkan P2 diperoleh

1 + 1 = 1

Padahal dari P1 diketahui 1 + 1 ≠ 1 . Kontradiksi

 Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan 3 ≠ 4, 5 ≠ 2 dsb

Referensi:

Cuthbert Webber, 1966, Number System of Analysis,  Addison-Wesley