1, 2, 3, pi

$\arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi$

Bagaimana cantik sekali bukan persamaan diatas? Jika kalian baru pertamakali melihat si cantik diatas, tidak perlu berkecil hati karena saya sendiri baru melihatnya kemarin 🙂

Bukti:

Untuk membuktikan si cantik kita akan mengunakan aturan tangent yang sudah dikenal banyak orang:

$\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

Itu berarti

$\left(\alpha+\beta\right)=\arctan\left(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\right)$ (i)

Jika $\tan\alpha=a$ dan $\tan\beta=b$ maka $\arctan a=\alpha$ dan $\arctan b=\beta$ , kita subtitusikan ke (i), diperoleh:

$\arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ (ii)

Sekarang kita akan menggunakan (ii), untuk menghitung $\arctan1+\arctan2+\arctan3$

$\left(\arctan1+\arctan2\right)+\arctan3$

$\arctan\left(\frac{1+2}{1-1\cdot2}\right)+\arctan3$

$\arctan-3+\arctan3$

$\arctan\left(\frac{-3+3}{1-\left(-3\cdot3\right)}\right)$

$\arctan0$

Kita tahu $\arctan0\in\left\{ 0,\pi\right\}$ , yang jadi pertanyaan nilai $\arctan0$ yang mana yang harus kita pilih? Kita tahu $\tan\theta$ bernilai posisitif jika $\theta$ terletak di kuadran pertama. Itu berarti $\arctan1$ , $\arctan2$ dan $\arctan3$ berada di kuadran pertama. So..dapat disimpulkan

$\arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi$

$\square$

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

5 Responses to 1, 2, 3, pi

mafmal21 says:

April 13, 2014 at 07:20

persamaan (i) kayanya salah mas, harusnya yang di dalam kurung bukan arctan(beta), tapi tan(beta)

- Aria Turns says:
  
  April 13, 2014 at 17:34
  
  oh iya salah tulis, thanks 🙂
  
divisionbyzero0 says:

September 12, 2013 at 16:43

e^(i.(arctan 1 + arctan 2 + arctan 3)) + 1 = 0

vinanry says:

September 12, 2013 at 08:16

blom blajar yg kebeginian ni mas,, jd ta tw .
😀
plajaran tingkat brapa y ? kalo boleh tw 🙂

- Aria Turns says:
  
  September 12, 2013 at 16:33
  
  Itu tingkat masiswa tahun pertama