1, 2, 3, pi

Posted on September 11, 2013 by Nursatria

{\displaystyle \arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi}

Bagaimana cantik sekali bukan persamaan diatas? Jika kalian baru pertamakali melihat si cantik diatas, tidak perlu berkecil hati karena saya sendiri baru melihatnya kemarin 🙂

Bukti:

Untuk membuktikan si cantik  kita akan mengunakan aturan tangent yang sudah dikenal banyak orang:

{\displaystyle \tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}

Itu berarti

{\displaystyle \left(\alpha+\beta\right)=\arctan\left(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\right)} (i)

Jika \tan\alpha=a dan \tan\beta=b maka \arctan a=\alpha dan  \arctan b=\beta , kita subtitusikan ke (i), diperoleh:

{\displaystyle \arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)} (ii)

Sekarang kita akan menggunakan (ii), untuk menghitung {\displaystyle \arctan1+\arctan2+\arctan3}

{\displaystyle \left(\arctan1+\arctan2\right)+\arctan3}

{\displaystyle \arctan\left(\frac{1+2}{1-1\cdot2}\right)+\arctan3}

{\displaystyle \arctan-3+\arctan3}

{\displaystyle \arctan\left(\frac{-3+3}{1-\left(-3\cdot3\right)}\right)}

{\displaystyle \arctan0}

Kita tahu \arctan0\in\left\{ 0,\pi\right\} , yang jadi pertanyaan nilai \arctan0 yang mana yang harus kita pilih? Kita tahu \tan\theta bernilai posisitif jika \theta terletak di kuadran pertama. Itu berarti \arctan1, \arctan2 dan \arctan3 berada di kuadran pertama. So..dapat disimpulkan

{\displaystyle \arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi}

\square

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to 1, 2, 3, pi

  1. mafmal21 says:
    April 13, 2014 at 07:20

    persamaan (i) kayanya salah mas, harusnya yang di dalam kurung bukan arctan(beta), tapi tan(beta)

    Reply
  2. divisionbyzero0 says:
    September 12, 2013 at 16:43

    e^(i.(arctan 1 + arctan 2 + arctan 3)) + 1 = 0

    Reply
  3. vinanry says:
    September 12, 2013 at 08:16

    blom blajar yg kebeginian ni mas,, jd ta tw .
    😀
    plajaran tingkat brapa y ? kalo boleh tw 🙂

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s