Kemungkinan 2 bilangan adalah relatif Prima

Posted on September 20, 2013 by Nursatria

Dua bua bilangan a dan b  dikatakn relatif prima (atau disebut juga koprima) jika fpb (a,b)=1, dengan kata lain a dan b tidak mempunyai faktor prima bersama.

Contoh: 10 dan 13 adalah relatif prima, begitupula 31 dan 36 juga merupakan relatif prima, sedangkan 50 dan 65 bukan relatif prima.

Nah sekarang pertanyaannya:

Berapa kemungkinan 2 bilangan yang dipilih secara acak  merupakan relatif prima?

Untuk menjawab pertanyaan diatas, kita akan mengunakan lemma berikut:

Lemma: Diberikan bilangan prima p, kemungkinan suatu bilangan yang dipilih secara acak mempunyai faktor prima p adalah 1/p

Bukti: Dinotasikan \mathbb{Z}_{p} , Grup modulu bilangan bulat p. Jika suatu bilangan n mempunyai faktor prima p, itu berarti n berada di dalam kelas kongruen 0\in\mathbb{Z}_{p}. Banyaknya kelas kongruen di \mathbb{Z}_{p} adalah p. So.. kemungkinan suatu bilangan dipilih secarak acak berada di dalam kelas kongruen 0\in\mathbb{Z}_{p} adalah 1/p.

Akibat: Diberikan bilangan prima p serta a dan b dua bilangan yang dipilih secara acak maka berlaku

    1. Kemungkinan  a dan b mempunyai p sebagai faktor prima bersama adalah 1/p^2
    2. Kemungkinan a dan b TIDAK  mempunyai p sebagai faktor prima bersama adalah 1-1/p^2.

Dari akibat diatas, kita tahu kemungkinan suatu bilangan prima p tidak menjadi faktor prima bersama dari 2 buah bilangan adalah 1-1/p^2. So.. kemungkinan SEMUA bilangan prima tidak  menjadi faktor prima bersama dari 2 buah bilangan adalah

{\displaystyle \left(1-\frac{1}{p_{1}^{2}}\right){\displaystyle \left(1-\frac{1}{p_{2}^{2}}\right)\ldots{\displaystyle \left(1-\frac{1}{p_{i}^{2}}\right)}}}

untuk semua p_{i}\in P Himpunan  bilangan prima. Persamaan diatas bisa ditulis sebagai berikut

{\displaystyle \prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{2}}}

Bagaimana menghitungnya?

Kita akan menggunakan fungsi Zeta

{\displaystyle \zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\left({\displaystyle \prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{s}}}\right)^{-1}}

Itu berarti

{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{\zeta\left(s\right)}=\prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{s}}}

Di ambil s=2 diperoleh

{\displaystyle \zeta\left(2\right)=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots}

Ah.. kita mendapatkan masalah Basel, sudah pernah saya bahas di sini. Kita mendapatakan \zeta\left(2\right)=\pi^{2}/6

 Sekarang barulah dapat kita simpulkan

{\displaystyle \prod_{p\,\mathbf{Prima}}1-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{\zeta\left(2\right)}=\frac{6}{\pi^{2}}}.

So.. jawaban dari peratnyaan daiats adalah \frac{6}{\pi^{2}}\approx0,6079.  Ternyata kemungkinan 2 bilangan menjadi relatif prima cukup besar lebih dari 60%

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in probabilitas, Teori Bilangan and tagged , , . Bookmark the permalink.

8 Responses to Kemungkinan 2 bilangan adalah relatif Prima

  1. Yuumachan says:
    December 8, 2019 at 11:40

    Njir pusing gua

    Reply
  2. pengamat matematika says:
    November 14, 2014 at 20:08

    jika a dan b dua bilangan yang saling prima (relatif prima), maka kelipatan persekutuannya adalah 2ab, 3 ab, 4 ab…

    Reply
  3. sshofiyyah says:
    March 27, 2014 at 04:00

    Apakah bilangan saling prima dan relatif prima itu berbeda?

    Reply
  4. woohoo says:
    September 24, 2013 at 19:40

    permisi, may tanya yg dicontoh itu. bukannya 33 dan 36 FPBnya 3, ya?

    Reply
  5. divisionbyzero0 says:
    September 20, 2013 at 23:13

    bisa digeneralisasi : kemungkinan n bilangan asli relatif prima = 1/(zeta(n))

    Reply
    • Aria Turns says:
      September 22, 2013 at 07:15

      Yup…bisa digenaralisasi seperti itu.
      Baru aja cek di wolframalpha.com bahwa
      zeta(n)=1 jika n->infinity dengan n bilangan asli
      So semakin buanyak bilangan yang ambil semakin besar kemungkinannya untuk menjadi relatif prima

      Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s