Ketika SD kita belajar tentang bilangan asli yang dinotasikan N. Bisa dikatakan konsep matematika yang pertama kali diajarkan ke kita ketika kecil adalah bilangan asli. Jelas, semua bilangan asli adalah positif. Anak SD sekalipun tahu bahwa 1, 2, 3 dan seterusnya adalah bilangan positif. Nah.. sekarang mari kita buktikan sesuatu teramat jelas ini bahwa semua bilangan asli adalah positif. Karena inilah Matematika selalu menuntut pembuktian bahkan terhadap sesuatu yang teramat jelas sekalipun.

Teorema 1: Untuk semua n ∈ N maka 0 < n

Untuk membuktikan Teorema diatas saya kan menggunakan lemma berikut:

Lemma 2:  0 < 1

Oh…jelas buaangeet, satu lebih besar daripada nol, tetapi lagi dan lagi saya mengatakan  bahwa inilah Matematika selalu menuntut pembuktian bahkan terhadap sesuatu yang teramat jelas sekalipun. Silahkan lihat pembuktiannya di sini

Teorema 1 akan dibuktikan dengan metode induksi Matematika.

Langkah 1: Akan dubuktikan  0 < 1

Berdasarkan lemma 2, terbukti  0 < 1

Langkah 2: Diasumsikan 0 < n , akan dibuktikan 0 <  n + 1

Berdasarkan langkah 1 dan asumsi 0 < n  maka dengan menggunakan aksioma keterurutan diperoleh 0 < n + 1

Langkah induksi telah lengkap maka dapat disimpulkan 0 < n, untuk semua n ∈ N

QED