Teorema Isoperimetrik

Konon katanya Masyarakat Yunani Kuno sudah mengetahui bahwa lingkaran mempunayai luas terbesar diantara senua bangun datar lainya yang mempunyai keliling yang sama. Inilah yang disebut dengan Teorema Isoperimetrik ( Iso = Sama, perimetrik = Keliling). Misalkan terdapat trapesium, segi-17, dan lingkaran, ketiganya mempunyai keliling yang sama, Teorema Isoperimetrik menjamin lingkaranlah yang mempunyai luas terbesar daripada trapesium dan segi-17.

Meskipun Yunani kuno yang hidup lebih dari 2300 tahun lalu sudah mengetahui fakta matematis tersebut akan tetapi Teorema Isoperimetrik baru bisa dibuktikan pada abad 19. Secara formal Teorema Isoperimetrik menyatakan:

Teorema Isoperimetrik: Untuk semua $C$ kurva sederhana tertutup di $\mathbb{R}^{2}$ dengan keliling $P$ dan luas $A$ berlaku

$A\leq\frac{P^{2}}{4\pi}$

Pertidaksamaan diatas akan menjadi persamaan jika hanya jika $C$ adalah lingkaran.

Teorema Isoperimetrik sering juga diseput Pertidaksamaan Isoperimetrik karena memuat pertidaksamaan. Nah sekarang mari kita buktikan.

Bukti:

Diasumsikan $C$ halus (sebenarnya tidak harus halus tapi pembuktiannya lebih rumit) dan didefinisikan $\displaystyle z:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{C}$ fungsi parametic untuk $C$ pada bidang kompleks. Karena $C$ halus maka $z'(t)$ eksis dan kontinyu, diketahui kurva $c$ sederhana dan tertutup, itu berarti $z(t)$ adalah fungsi satu-satu pada $[0, 2\pi)$ dan $z(0) = z(\pi)$ .

Diperoleh rumus keliling Kurva:

$\displaystyle P = \int_0^{2\pi} |z'(t)|\ dt$

dan Luas

$\displaystyle A = \frac{1}{2i} \int_C \overline{z} \ dz = \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi}\overline{z(t)} z'(t)\ dt$

Dengan melakukan penskalaan pada kurva oleh $k$ akan memperpanjang panjang busur sebesar $k$ dan memperluas luas sebesar $k^2$ . Diasumsikan $P=2\pi$ dan kurva diparametrikkan oleh panjang busur, itu berarti $|z'(t)|=1$ . Dengan meuliskan z(t) dalam bentuk deret fourier diperoleh:

$\displaystyle z(t) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{int}$

Dengan mentranslasikan kurva oleh $c_0$ , diasumsikan $c_0=0$ diperoleh:

$\displaystyle z(t) = \sum_{n \neq 0} c_n e^{int}.\quad ...(1)$

Kita turunkan (1) diperoeleh

$\displaystyle z'(t) = \sum_{n\neq 0} c_n (in) e^{int} \quad ...(2)$

Subtitusi (2) ke $A$ , diperoleh

$\begin{array}{lcl} A &=& \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi}\overline{z(t)} z'(t)\ dt\\&=& \frac{1}{2i} \int_0^{2\pi} \sum_{m\neq 0} \overline{c_m} e^{-imt} \sum_{n \neq 0} c_n (in) e^{int} \ dt\\&=& \frac{1}{2}\sum_{m\neq 0}\sum_{n\neq 0}\overline{c_m}n c_n \int_0^{2\pi} e^{i(n-m)t}\ dt\\&=& \frac{1}{2}\sum_{m\neq 0}\sum_{n\neq 0}\overline{c_m}nc_n 2\pi \delta(n-m) \\&=& \pi\sum_{n\neq 0} n|c_n|^2. \quad ...(3)\end{array}$

Pertukaran sumation dan integral diatas dibenarakan berdasakan konvergen seragam dari deret. Dengan mengunakan relasi Paversal di (2) diperoleh

$\displaystyle \sum_{n \neq 0} n^2|c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |z'(t)|^2\ dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} 1\ dt = 1, \quad ...(4)$

Diketahui $n \leq n^2$ dan dari (3) dan (4), diperoleh:

$\displaystyle A \leq \pi \sum_{n \neq 0} n^2 |c_n|^2 = \pi, \quad ...(5)$

Berdasarkan asumsi diatas $P=2\pi$ , itu berarti $P^2 /4\pi =\pi$ , subtitusikan ke (5) diperoleh

$A\leq\frac{P^{2}}{4\pi},\quad ...(6)$

Jelas, jika $C$ adalah lingkaran maka (6) menjadi persamaan

$\square$

Referensi: http://ckrao.wordpress.com/2011/03/20/the-isoperimetric-inequality/

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

8 Responses to Teorema Isoperimetrik

Bahalan says:

May 11, 2014 at 22:44

Teoremanya dinyatakan dlm lapangan real, mengapa pembuktiannya dlm lapangan kompleks?

- Aria Turns says:
  
  May 12, 2014 at 06:43
  
  Banyak jalan menuju Roma, banyak ara pembuktian dari suatu Teorema. Saya memilih pembuktian dalam lapangan kompleks karena lebih ringkas dari pada pembuktian dl lapangan real. UNtuk pembuktian dalam rela, silahlan lihat
  http://cornellmath.wordpress.com/2008/05/16/two-cute-proofs-of-the-isoperimetric-inequality/
  
  - Bahalan says:
    
    May 12, 2014 at 08:42
    
    Apakah bisa dikatakan bhw suatu teorema yang berlaku pada lapangan kompleks C, juga berlaku pada RxR? Dan sebaliknya.
    
    - Aria Turns says:
      
      May 12, 2014 at 09:51
      
      Tidak karena Lapangan Kompleks mengenal i ( bilangan imajiner) sedangkan RxR tidak mengenalnya.
      Coba kita lihat Identitas Euler $e^{i\pi}+1=0$ , apakah identits itu berlaku di RxR ? Tentu saja tidak
      
      - Bahalan says:
        
        May 12, 2014 at 11:20
        
        Lantas mengapa pembuktian teorema isoperimetrik yg dinyatakan dalam RxR dilakukan dlm C? Apakah ini kasus khusus di mana teorema tersebut berlaku baik dalam RxR dan C? Sepertinya ada suatu langkah pembuktian yg perlu ditambahkan utk menjelaskannya.
        
        
        Aria Turns says:
        
        May 12, 2014 at 12:50
        
        Seperti yang sudah saya katakan diatas karena lebih ringkas & sederhana jika dibuktikan di dalam C.
        Kompleks adalah perluasan dari real, dengan kata lain real adalah himpunan bagian dari komples.
        Segala sesutu yang berlaku di kompleks pasti berlaku di real, tetapi sebalinya belum tentu.
        Peraturan di Indonesia pasti juga berlaku di Jawabarat tetepi belum tentu peraturan di Jawabarat berlaku Indonesia
        
- Bahalan says:
  
  May 12, 2014 at 15:51
  
  Mas Aria, krn lapangan pandang tulisan semakin sempit bila menanggapi tanggapan sebelumnya, maka saya buat yg baru di sini.
  
  Masih melanjutkan diskusi kita terakhir, bertolak dari pernyataan anda bhw segala sesuatu yang berlaku di kompleks pasti berlaku di real, maka dalam konteks teorema isoperimetrik diatas dpt disimpulkan bhw krn teorema tsb berlaku dlm C, maka pasti berlaku dlm RxR. Begitu ya mas? Mohon konfirmasinya. Trims.
  
  - Aria Turns says:
    
    May 12, 2014 at 19:22
    
    Ya betul

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Joseph Matt on Iklan Matematika oleh IBM
	fauzi on Dugaan Pólya
	fauzise on Akar dari akar dari akar …
	fauzi on Penjumlahan seluruh bilangan…
	Maya W on Pembuktian satu kali satu sama…