Sumber: techtimes.com

Sekarang kita akan bermain-main angka. Kita mulai dengan sembarang bilangan, saya akan mengambil bilangan besar, misal:

3.489.056.701.245.607

Kemudian kita akan menghitung munculnya angka genap , ganjil dan total angka. Bilangan diatas memiliki 9 genap (ingat, 0 itu genap), 7 ganjil dan totalnya ada 16 angka. Kita mendapatkan bilangan baru yaitu 9716. Ulangi lagi hitung banyaknya ganjil, genap dan total angka dari 9761 kita mendapatkan 134, ulangi kembali kita mendapatkan 123, ulangi lagi, kita kembali medapatkan 123. Oh ternyata 123 tetap menghasilkan 123.

Mari kita coba bilangan lain.

3.456 → 224 → 303 → 123

555 → 033 → 123

23 → 112 → 123

3 → 011 → 123

Oh… ternyata semua bilangan yang kita coba hasil akhirnya selalu 123. Mmm… 123 bagaikan lubang hitam yang menghisap semua bilangan di semesta ini kedirinya. Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Untuk semua bilagan asli n, didefiniskan fungsi

f(n) = # genap # ganjil total # angka.

Telah ditunjukkan bahwa f(123) = 123.

Teorema: Untuk setiap bilagan asli n maka terdapat bilangan asli k sedemikian hingga

f^k (n) = 123

Bukti:

Akan dibutikan melalaui 4 kasus

Untuk n < 10

Terdapat 2 kemungkinan nilai f(n) yaitu 101 atau 011

101 → 123

011 →213 → 123

Untuk 9 < n <100

Terdapat  3 kemungkinan f(n) yaitu 112, 202, 022

112 → 123

202 → 303 → 123

022 → 303 → 123

untuk 99 < n < 1000

Terdapat 4 kemugkinan f(n) yaitu 303, 033, 213, 123

303 → 123

033 → 123

213 → 123

Untuk 999 < n

Jika 999 < n maka f(n) < n. Akan dibuktikan melalui induksi

Untuk n = 1000 maka f(1000) = 314 < 1000.

Asumsi berlaku f(n) < n. akan dibuktikan f(n+1) < n+1

Jika n+1 dan n mempunyi banyak angka yang sama maka f(n+1) < n+1 (mengapa?). Jika n+1 banyak angkanya lebih banyak daripada n maka n+1 mempunyai bentuk 10^m , eksponen sepuluh (mengapa?). So f(10^m) < 10^m.

Dengan kata lain untuk 999 < n akan ditarik menjadi ratusan hingga pada akhirnya menjadi 123.

Q.E.D