Akar didalam akar

Di Matematika ada istilah Nested radicals yang secara harfiah artinya adalah Akar bersarang. Errr… terdengar janggal bukan? Oleh karena itu saya akan mengunakan istilah Akar didalam akar sebgai terjemahan dari nested radicals.

Akar didalam akar adalah bentuk ekspresi akar yang didalamnya memuat bentuk akar pula. Sebagai contoh

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$

$\sqrt{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$

Nah.. yang menarik, bilangan real positif dapat dieksperisikan dalam bentuk akar didalam akar, Sebagai contoh

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\ldots}}}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{\ldots}}}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{\ldots}}}}}$

Bentuk umumnya adalah

$k=\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{\ldots}}}}}$

Sekarang kita kan mencari hubungan $k$ dengan $m$ . Kita kuadratkan kedua sisi persamaan diatas diperoleh

$k^{2}=m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{m+\sqrt{\ldots}}}}$

$k^{2}=m+k$

$k^{2}-k=m$

Inilah hubungan antara $k$ dengan $m$ tetapi hubungan tersebut hanya berlaku untuk $k>1$ . Mengapa? Coba kalian lihat apa yang terjadi jika $k=1$ dan $m=0$ !

Update 16/05/15

Ah… saya baru saja menemukan1 fakta yang cukup menarik tentang ternyata untuk sebarang bilangan real positif berlaku:

$p=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}$

Contoh:

$2=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\ldots}}}}}$

$3=\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{\ldots}}}}}$

Nah.. sekarang mari kita buktikan

Andaikan $q=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}$ , akan ditunjukkan $p=q$

$q=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}}$

$q^{2}=p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{\ldots}}}}$

$q^{2}=pq$

$q=p$

Q.E.D

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

This entry was posted in kalkulus and tagged akar, matematika, Math. Bookmark the permalink.

6 Responses to Akar didalam akar

flippy says:

May 17, 2015 at 00:22

bagaimana kita tahu bahwa akar bersarang yang menuju ketakterhinggaan itu mendekati suatu nilai / ada limitnya?

- flippy says:
  
  May 17, 2015 at 00:44
  
  saya masih bingung saja sama konsep limit… dan selalu curiga & ngga yakin sama segala sesuatu yg berurusan sama ketidakterhinggaan 🙂
  
  - Aria Turns says:
    
    May 17, 2015 at 09:27
    
    Itu kan diatas ada buktinya. Ya wajar kamu tidak yakin dengan konsep ketidakterhinggan, karena pada realitasnya konsep tersebut tidak ada. Di semesta ini tidak ada hal yang tak berhingga
    
    - Flippy says:
      
      May 18, 2015 at 03:52
      
      Merasa lebih nyaman setelah mencoba “membuktikan” sendiri pak 🙂
      http://flippedcircle.cf/post/119216973843/proof-dan-evidence-hanya-punya-satu-padanan-kata
      
      - Aria Turns says:
        
        May 18, 2015 at 16:35
        
        Wuih… mantap
        
Tempel Balik says:

May 16, 2015 at 09:39

Asyik ini tipsnya 🙂 Trimaksih sudah berbagi (y)