Salah satu Teorema tertua adalah Teorema Ptolemy, diambil dari nama Filsuf Yunani Kuno Claudius Ptolemy (170 – 100 SM). Teorema Ptolemy adalah hubungan 4 sisi dengan 2 diagonal dari Quadrilateral didalan lingkaran

Apa itu Quadriteral?

Quadriteral sebenaranya sudah kita kenal sejak SD. Persegi, persegi panjang, trapesium, jejergenjang, layang-layang, belah ketupat, semuanya adalah Quadriteral. Jadi Quadriteral adalah bangun datar yang memiliki 4 sisi.

Teorema Ptolemy: Diberikan Quadriteral Siklik (Yaitu Quadriteral yang ke-empat sisinya terletak pada satu lingkaran) dengan A, B, C dan D adalah 4 sudutnya secara berurutan maka berlaku

AC·BD=AB·CD+BC·AD

Dengan kata lain perkalian 2 diagonal sama dengan jumlah perkalian pasangan sisi yang bersebrangan

Bukti

Kontruksi pembuktian

Diberikan ABCD adalah Quadriteral Siklik. Pada busur BC, sudut keliling ∠BAC = ∠BDC, dan pada busur AB,sudut keliling ∠ADB = ∠ACB. Di kontrusikan K pada AC sedemikian hingga  ∠ABK = ∠CBD; Diperoleh

•  ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,
• ∠CBK = ∠ABD.

Berdasakan kesamaan sudut △ABK sebangun  dengan△DBC, dan △ABD sebangun dengan △KBC. Itu berarti AK/AB = CD/BD, dan CK/BC = DA/BD; Ekuivaalen dengan, AK·BD = AB·CD,dan CK·BD = BC·DA. Sekarang kita jumlahkan diperoleh

 AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA

(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA.

Diketahui  AK+CK = AC, diperoleh

AC·BD = AB·CD + BC·DA,

***

Nah… yang menarik dari Teorema Ptolemy adalah akibatnya (corollary)

Segitiga Sama Sisi

Akibat: Diberikan segitiga sama sisi yang ketiga sudutnya menyinggung lingkaran maka jarak sautu titik pada lingkaran ke sudut terjauh pada segitiga sama dengan jumlah jarak titik tersebut ke-2 sudut terdekat segitiga sama sisi

Bukti: berdasakan Teorema Ptolemy

qs = ps + rs →q = p + r

Sumber Gambar:Wikipedia