Hukum Morrie

Posted on November 30, 2015 by Nursatria

\cos\left(20^{\circ}\right)\cos\left(40\right)\cos\left(80^{\circ}\right)=\frac{1}{8}

Bagaimana cantik bukan, kesamaan di atas? Richard Feynman menyebut kesamaan diatas dengan sebutan Hukum Morrie karena ketika kecil dia diajarkan kesamaan tersebut oleh seseorang bernama Morrie Jacobs. Kesamaan di atas merupakan kasus khusus dari bentuk umum identitas trigonometri

{\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\cos\left(2^{k}\alpha\right)=\frac{\sin\left(2^{n}\alpha\right)}{2^{n}\sin\left(\alpha\right)}}

Dengan n = 3 dan α = 20, kita mendapatkan

{\displaystyle \prod_{k=0}^{2}\cos\left(2^{k}20^{\circ}\right)=\cos\left(20^{\circ}\right)\cos\left(40\right)\cos\left(80^{\circ}\right)=\frac{\sin\left(160^{\circ}\right)}{8\sin\left(20^{\circ}\right)}}

Ingat \sin\left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin\alpha , itu berarti

{\displaystyle \frac{\sin\left(160^{\circ}\right)}{8\sin\left(20^{\circ}\right)}=\frac{\sin\left(180^{\circ}-20^{\circ}\right)}{8\sin\left(20^{\circ}\right)}=\frac{\sin\left(20^{\circ}\right)}{8\sin\left(20^{\circ}\right)}=\frac{1}{8}}

Bukti:

Sekarang mari kita buktikan bentuk umumnya. Diketahui aturan sudut ganda pada sinus

{\displaystyle \sin\left(2\alpha\right)=2\sin\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha\right)}

diperoleh

{\displaystyle \cos\left(\alpha\right)=\frac{\sin\left(2\alpha\right)}{2\sin\left(\alpha\right)}}

Itu berarti

{\displaystyle \cos\left(2\alpha\right)=\frac{\sin\left(4\alpha\right)}{2\sin\left(2\alpha\right)}}

{\displaystyle \cos\left(4\alpha\right)=\frac{\sin\left(8\alpha\right)}{2\sin\left(4\alpha\right)}}

:

:

{\displaystyle \cos\left(2^{k-1}\alpha\right)=\frac{\sin\left(2^{k}\alpha\right)}{2\sin\left(2^{k-1}\alpha\right)}}

Kalikan semua ekspresi, diperoleh

{\displaystyle \cos\left(\alpha\right)\cos\left(2\alpha\right)\cos\left(4\alpha\right)\ldots\cos\left(2^{k-1}\alpha\right)=\frac{\sin\left(2\alpha\right)\sin\left(4\alpha\right)\sin\left(8\alpha\right)\ldots\sin\left(2^{k}\alpha\right)}{2\sin\left(\alpha\right)2\sin\left(2\alpha\right)2\sin\left(4\alpha\right)\ldots2\sin\left(2^{k-1}\alpha\right)}}

Kita sederhanakan, di sisi kanan banyak yang bisa kita coret, diperoleh

{\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\cos\left(2^{k}\alpha\right)=\frac{\sin\left(2^{n}\alpha\right)}{2^{n}\sin\left(\alpha\right)}}

∴

Advertisement

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s