Di postingan sebelumnya, saya mengatakan bahwa π itu konstant hanya di Geometri Euclidean tetapi tidak konstan di Geometri Non-Euclidean. Nah..sekarang mari kita buktikan kekonstanan π di Geometri Euclidean

Untuk membuktikannya, kita akan mengambil sembarang 2 lingkaran yang ukuran berbeda kita namakan lingkaran yang pertama  L₁ dengan jari-jari adalah r₁ ,keliling adalah k₁ dan  lingkaran kedua L₂ dengan jari-jari adalah r₂ ,keliling adalah k₂ , kemudian kita tunjukkan bawa rasio keliling terhadap diameternya mempunyai nilai yang sama padahal kedua lingkaran tersebut mempunyai ukuran yang berbeda, dengan kata lain akan ditunjukkan

.

Misalkan r₂ > r₁ , dengan kata lain L₂ lebih besar daripada L₁ . Kita tempatkan kedua lingkaran tersebut sehingga keduanya memiliki titik pusat yang sama, bahasa kerennya concentric. Itu berarti L₁ berada di dalam L₂.

Dibangun oleh 15 segitiga sama kaki

Andaikan L₂ dibangun dari tak hingga banyaknya segitiga sama kaki yang kongkruen, kita namakan T₂. Puncak segitiga berada di titik pusat sehingga sisi kaki T₂ menjadi jari-jari dari L₂. Itu artinya alas T₂ yang dinotasikan s₂ berada di tepi lingkaran L₂, semakin banyak T₂ maka alasnya akan semakin menutupi tepi L₂ , disimpulkan

k₂ = ns₂ dengan n→∞

Selanjutnya kita perpendak kaki dari T₂ sehingga menyentuh tepi lingkaran L₁. Kita namakan T₁ segitiga sama kaki hasil perpendakkan kaki dari T₂. Itu berarti L₁ dibangun dari T₁. Dengan argumentasi yang sama disimpulkan

k₁ = ns₁ dengan n→∞

Kita mendapatkan rasio keliling L₂ terhadap diameternya adalah

sedangkan rasio keliling L₁ terhadap diameternya adalah

Karena T₁  dan T₂ sebangun (mengapa?), itu artinya

So.. dapat disimpulkan

.

QED

Referensi: math.wikia.com