Mari kita kerjakan soal integral tak tentu berikut:
∫ sin(x)cos(x) dx
Kita gunakan metode subtitusi, yang disubtitusi sin(x)
u = sin (x)
du = cos (x) dx
[1/cos(x)]du = dx
Kita mendapatkan
∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ u du
=½ u² + C
= ½ sin²(x) + C
Ternyata kita juga bisa mensubtitusi cos(x)
u = cos(x)
du = -sin(x)
[-1/sin(x)]du = dx
Kita mendapatkan
∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ -u du
=-½ u² + C
= -½ cos²(x) + C
Selain cara subtitusi, kita juga bisa menggunakan rumus sudut ganda pada trigonometri
sin(2x) = 2sin(x)c0s(x)
½ sin(2x) = sin(x)c0s(x)
Kita medapatkan
∫ sin(x)cos(x) dx = ∫ ½ sin(2x) dx = ½∫ sin(2x) dx
= -¼ cos(2x) + C.
Jadi ∫ sin(x)cos(x) dx itu punya 3 jawaban?? Tenang saja ketiga jawaban tersebut ekuivalen kok alias sami-mawon.
Nah.. bisa kah kalian menunjukkan
- ½ sin²(x) + C
- -½ cos²(x) + C dan
- -¼ cos(2x) + C
Ketiga bentuk tersebut ekuivalen?
Blog Matematika Pak Satria 
Saya mau buktikan pakai trigonometri tapi sudah lupa identitasnya hehe.
Kalau saya buktikan lewat plot fungsi ketiganya.(tanpa embel-embel +C) jadi seperti berikut.
https://lh3.googleusercontent.com/He7mO4vIL4IyD4J-6ia1vBcJ5tWKdTxDWvFEB9p2OWu1Ay5YFcKB3fujx0bR8Ei3F3dyVIGnog=w1366-h768-rw-no
Perbedaan ketiga plot fungsi tersebut adalah posisinya terhadap sumbu Y. Disitulah suku konstanta alias C berperan. Sebab C akan mengubah posisi grafik terhadap sumby Y saja.
Ya… dari grafik jelas terlihat ke-ekuivalennya
½ sin²(x) + C
-½ cos²(x) + C
-¼ cos(2x) + C
½ sin²(x) + C = ½ (1-cos²(x) +C) = -½ cos²(x) + ½ +½C
berhubung ½ +½C konstan, hasil akhirnya bisa ditulis -½ cos²(x) + C
-¼ cos(2x) + C = -¼ [cos²(x) – sin²(x)] +C = -¼ [cos²(x) – (1-cos²(x))] +C
= -¼ [ cos²(x) – 1 + cos²(x)] + C
= -½ cos²(x) +1 +C
berhubung 1 +C adalah konstan, hasil akhirnya bisa ditulis -½ cos²(x) +C
Eh yang buat subtitusi cos(x) kan harusnya du = -sin(x) dx