Saya pernah membahas bahwa ada suatu fungsi yang hanya kontinyu di satu titik secara non-formal, sekarang saya akan membahasnya secara formal.

Didefiniskan fungsi sebagai berikut

Akan ditunjukkan fungsi tersebut hanya kontinyu di x=0.

Diberikan a≠0, ambil x_r barisan rasional yang konvergen ke a dan x_i barisan irasional yang konvergen juga ke a. Diperoleh

dan

Disimpulkan tidak ada. Dengan kata lain f(x) diskontinyu di a≠0

Selanjutnya untuk titik di 0, berdasarkan definisi f(o)=0. Karena nilai f(x) selalu x atau -x maka diperoleh  -|x| ≤ f(x) ≤ |x|. karena

maka berdasarkan teorema Sandwich disimpulkan . Dengan kata lain f(x) kontinyu di 0