Integral Parsial 0 = 1

Posted on March 4, 2017 by Nursatria

Saya punya soal integral seperti berikut

$\int\frac{1}{x\ln x}dx$

Kita selesaikan dengan metode integral parsial

Ambil

$u=\frac{1}{\ln x}\rightarrow du=-\frac{1}{x\ln^2 x}$

$dv=\frac{1}{x}\rightarrow v=\ln x$

diperoleh

$\begin{array}{ccc}\int\frac{1}{x\ln x}dx & = & \frac{1}{\ln x}\ln x-\int \ln x\frac{-1}{x\ln^2 x}dx\\ & = & 1+\int\frac{1}{x\ln x}dx \end{array}$

Kita mendapatkan

$\int\frac{1}{x\ln x}dx=1+\int\frac{1}{x\ln x}dx$

Kita bisa mencoret $\int\frac{1}{x\ln x}dx$ pada kedua ruas. So.. kita mendapatkan

0 = 1

Hayoo… ada yang tau dimana letak kesalahannya? 🙂

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

This entry was posted in kalkulus and tagged integral, matematika, Math, parsial. Bookmark the permalink.

17 Responses to Integral Parsial 0 = 1

DC says:

April 22, 2017 at 23:29

Setahu saya, metode integrasi parsial itu untuk integral tertentu (ada batas-batas integralnya). Proses pembuktiannya pun memerlukan batas-batas. Untuk kasus di atas, apabila diberi batas (spt [1,x] atau yg lain), bagian uv harusnya menjadi 0.
Untuk integral tak tentu metode ini masih bisa digunakan (asumsi batas [a,x]), hasil yang diperoleh (antidefivatif nya) tidaklah tunggal (bergantung a), tapi pasti selalu berselisih suatu konstanta. Jadi, menurut saya 1=0 tetap benar, asalkan dengan mengunakan definisi “A=B” jhj A-B suatu konstanta.

Reply
Walidah says:

March 16, 2017 at 20:10

Kenapa ngga pakai integral substitusi? U = ln x. Hehehe

Reply
rharyadiblog says:

March 12, 2017 at 18:19

kelirunya di langkah terakhir. waktu sampeyan bilang:
“Kita bisa mencoret $\int\frac{1}{x\ln x}dx$ pada kedua ruas”
ya ngga bisa gitu lah.
$\int\frac{1}{x\ln x}dx - \int\frac{1}{x\ln x}dx$ bukan nol.
$\int\frac{1}{x\ln x}dx - \int\frac{1}{x\ln x}dx = \int 0 dx = c$
cmiiw

Reply
- rharyadiblog says:
  
  March 12, 2017 at 18:31
  
  btw, blognya bagus pak.
  
  Reply
- Aria Turns says:
  
  March 12, 2017 at 20:15
  
  Ya… betul 🙂
  
  Reply
- ujangbiangkerok says:
  
  April 20, 2017 at 10:40
  
  Bagi yang penasaran, penjelasan lebih detil untuk jawaban @rharyadiblog:
  
  – Integral tak tentu adalah sebuah relasi algebraik, dimana int f(x) dx = F(x) + C. Perlu diperhatikan ekspresi ini bisa berganti-ganti nilai C nya. Contoh:
  int f(x) dx = k + int f(x) dx ==> F(x) + C = k + F(x) + D, dimana C =/= D secara umum.
  Maka yang kita dapat di integral awal kita C – D = 1, hanya informasi yang tidak berguna karena C dan D sembarang angka.
  
  – Secara lebih tepat, integral tak tentu mengambil fungsi sebagai input, dan memberikan kelas ekuivalensi sebuah fungsi sebagai output. Maka ketika kita berkata
  int f(x) dx = F(x) + C, yang kita maksud adalah int f(x) dx = [F(x)], dimana [ F(x) ] adalah relasi ekuivalen fungsi [ F(x) ] terhadap penjumahan konstanta. Ketika kita melakukan pengurangan [F(x] – [F(x)] = [0], hasilnya adalah relasi ekuivalensi 0 terhadap penjumlahan konstanta.
  Definisi integral parsial yang detil adalah int u dv = [uv] – int v du. Jika kita kembali ke kasus awal kita, akan mendapat:
  int 1/(x*lnx) dx = [1] + int 1/(x*lnx) dx
  [0] = [1], tidak ada kontradiksi di persamaan ini.
  
  – @rharyadiblog memberi contoh int 0 dx = c. Hal ini menarik karena ini memberi contoh bahwa operasi integral tak tentu tidak linear. Pembahasan lebih lanjut disini https://math.stackexchange.com/questions/1069664/is-indefinite-integration-non-linear
  
  Reply
  - rharyadiblog says:
    
    May 8, 2017 at 20:07
    
    setuju pak, singkatnya integral tak tentu itu menghasilkan satu himpunan fungsi, bukan satu buah fungsi.
    saya ngga tau apakah analogi ini tepat atau tidak:
    – misalnya ada kebun binatang. di kebun binatang itu ada satu ekor jerapah.
    – kemudian suatu hari ada berita ada satu ekor binatang yang mati di kebun binatang itu. – Jerapah itu binatang.
    kalo pake logika artikel di atas, sekarang kebun binatang itu tidak punya jerapah lagi. ini jelas keliru. karena binatang itu himpunan, binatang bukan cuma jerapah.
    begitu juga integral tak tentu, penyelesaiannya tidak tunggal. int F(x) dx bukan cuma f(x), tapi juga f(x)+1, f(x)+100000, f(x)+pi, dst
    cuma bedanya kalau di integral tak tentu, ada tidak terhingga banyaknya binatang.
    pendapat saya aja sih pak, saya lebih gampang mencerna kalo ada analoginya.
    
    Reply
Aria Pratama says:

March 11, 2017 at 23:07

Sebenernya lebih mudah ngerjain soal ini pake substitusi aja
Misalkan u = ln (x) maka diperoleh du = 1/x dx sehingga diperoleh hasil akhir ln (ln (x))

Tapi jujur saya ga tau dimana kelirunya metode int parsial diatas haha

Reply
arman says:

March 11, 2017 at 00:20

kayanya ada yang keliru di turunan 1/lnx.
soalnya yang saya dapet kalo pake aturan pembagian diturunan
y=1/lnx maka dy/dx=-1/x(lnx)^2
maaf kalo salah

Reply
- Aria Turns says:
  
  March 11, 2017 at 06:17
  
  Oh ya keliru, terimakasih atas koreksinya tapi hasul akhirnya sama aja kok
  
  Reply
Sandy says:

March 10, 2017 at 21:07

coba lagi 😁
turunan ke n dari 1/(ln x) bukan 0, walaupun n mendekati tak hingga.

Reply
- Aria Turns says:
  
  March 10, 2017 at 21:39
  
  Masih bukan 🙂 . Sebenarnya hanya dibutuhkan pemahaman konsep integral tak tentu untuk tahu dimana letak kekeliruannya
  
  Reply
Sandy says:

March 10, 2017 at 08:49

1/x adalah faktor dari turunan 1/ln(x) yaitu 1/x . 1/ln²(x)
seharusnya tidak menggunakan integral subtitusi.
cmiiw

Reply
- Sandy says:
  
  March 10, 2017 at 08:50
  
  eh, maksud saya “seharusnya tidak menggunakan integral parsial”.
  
  Reply
  - Aria Turns says:
    
    March 10, 2017 at 19:35
    
    Bukan itu alasannya 🙂
    
    Reply
ap says:

March 9, 2017 at 11:11

keliru saat substitusi uv – integral v du, tepatnya dibagian v untuk integral v du. seharusnya 1/ln x . ln x – integral ln x (-1/ln x) dx = 1 + integral 1 dx

cmiiw ._.

Reply
- Aria Turns says:
  
  March 9, 2017 at 18:59
  
  bukan itu alasannya 🙂
  
  Reply