Menghitung Dimensi

Di postingan mengenai dimensi, saya mengatakan bahwa dimensi-0 itu titik, dimensi-2 itu bidang, dimensi-3 itu ruang, dimensi itu derajat kebebasan. Akan tetapi postingan tersebut saya tidak menjelaskan bahwa ada cara menghitung dimensi, di sinilah saya akan menjelaskannya.

Kesamaan Diri

Sekarang saya akan membahas kesamaan diri Self Similarity. Ide dari kesamaan diri ini adalah pada umunya suatu objek geometris bisa dipecah atau tersusun dari bagian-bagian yang lebih kecil yang memiliki bentuk yang sama dengan dirinya cuman beda ukuran skala saja.

Sumber: Wikipedia

Dari Gambar di atas, kita punya objek dimensi-1 yaitu garis dengan panjang 1 satuan, kita punya objek dimensi-2 yaitu persegi dengan luas 1 satuan persegi, kita punya objek dimensi -3 yaitu kubus dengan volume  1 satuan kubik.

Nah.. biar mudah, panjang, luas dan volume, kita sebut saja sebagai massa. Anggap massa sebai massa kawat yang membentuk tali, massa lempengan logam yang membentuk persegi, massa besi yang membentuk kubus,

Dalam dimensi-1. Jika suatu garis diperkecil dengan skala 1/2 maka massa menjadi 1/2, dengan kata lain garis bermassa 1 tersusun dari 2 garis bermassa 1/2. Jika skalanya adalah 1/10 maka massa garis juga 1/10. Garis bermasa 1 tersusun dari 10 garis bermassa 1/10

Dalam dimensi-2. Jika suatu persegi diperkecilin dengan skala 1/2 maka massanya menjadi \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}. Dengan kata lain persegi tersusun dari 4 persegi yang kesamaan diri dengan skala 1/2. Jika suatu persegi dipecah menjadi 10, maka setiap pecahan massanya \frac{1}{100} dari dirinya.

Dalam dimensi-3. Jika suatu kubus diperkecil dengan skala 1/2 maka massanya menjadi \left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8} dengan kata lain terpecah menjadi 8 pecahan. Kita hidup di dimensi-3, jadi jika ada objek yang diperbesar 10 kali maka massanya mejadi 10³=1000 kalinya. Inilah alasan matematis, mengapa yang namanya raksasa atau monster ( di darat yach kalo di laut/air  terbantu gaya apung air) mustahi ada, karena akan hancur oleh beratnnya sendiri. Lho tapi itu dinosaurus gede?? Dinosauru gede karen tulangnya kopong seperti burung. Jika dinosaurus tulangnya padat seperti  mamalia mustahil bisa sebesar itu.

Dari penjabaran diatas kita bisa mendefiniskan dimensi sebagai ukuran penyekalaan. Dinotasika S sebagai skala faktor, N banyaknya pecahan yang memiliki kesamaan diri dan D adalah dimensi maka kita memperoleh hubungan

S^{-D}=N

kita logaritmakan kedua sisi

\log\left(S\right)^{D}=\log\left(N\right)

-D\log\left(S\right)=\log\left(N\right)

Kita dapatkan rumus menghitung dimensi

-D=\frac{\log\left(N\right)}{\log\left(S\right)}

Pada kubus jika skala diperkecil menjadi 1/2 maka akan terpecah menjadi 8 bagian

-D=\frac{\log\left(8\right)}{\log\left(1/2\right)}=-3

Kita hilangkan minusnya maka disimpulkan kubus berdimensi 3

Jadi ada banyak cara memandang dimensi, sebagai derajat kebebasan atau ukuran penyekalaan

 

 

 

 

 

 

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in fractal and tagged , , , . Bookmark the permalink.

1 Response to Menghitung Dimensi

  1. Pingback: Dimensi Pecahan | Blog Matematika Pak Satria

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s