Dimensi Pecahan

Ini lanjutan postingan sebelumnya, sekarang kita akan membahas objek-objek Geometri yang nilai dimensinya bukan cacah melainkan pecahan. Objek geometri yang dimensinya bernilai pecahan dikenal dengan sebutan Fractal. Ada 2 fractal yang akan dibahas disini sebagai contoh objek berdimensi pecahan

SEGITIGA SIERPINSKI

segitiga sierpinski

Sumber: jwilson.coe.uga.edu

Kita ambil sembarang segitiga S pada bidang, kemudian

  1. kita pecah S menjadi 3 bagian yang memiliki kesamaan diri dengan skala 1/2. Jadi S tersusun dari 3 pecahan berskala 1/2 dari dirinya, Bisa kamu lihat tengahnya bolong tapi itulah inti dari Segitiga Sierpinski
  2. Lakukan langka yang sama pada segitiga pecahannya
  3. Ulangi terus-menerus prosesnya
Evolusi Segitiga Sierpinski

Evolusi Segitiga Sierpinski, sumber Wikipedia

Sekarang kita hitung dimensinya.  Segitiga S tersusun dari 3 pecahan dengan skala 1/2, diperoleh

-D=\frac{\log3}{\log0,5}\approx-1,585

Kita hilangkan minusnya maka segitiga Sierpinski memiliki dimensi sekitar 1,585. Segitiga Sierpinski digambarkan pada bidang tetapi dia tidak berdimensi 2 karena dia memiliki sifat spesial yang tidak dimiliki objek berdimensi 2 pada umumnya.

  • Berapa luas Segitiga Sierpinski ? NOL karena setiap proses, luas segitiga akan berkurang 1/4 kali jika proses tersebut berlangsung tak hingga kali maka berakibat luasnya menjadi nol
  • Berapa keliling Segitiga Sierpinski ? tak hingga panjangnya karena setiap proses akan menambah keliling sebesar 3/2 kali

Karena 2 sifat diatas, kita tidak mengkelompokkan Segitiga Sierpinski  sebagai objek dimensi 2 tetapi berada diantara dimensi 1 dan 2

Bunga Salju Koch

Selanjutnya bunga salju koch ( Koch Snowflake) biar lebih mudah disbut kurva koch

koch_snowflake

Sumber math.ubc.ca

Ciri khas dari fractal adanya proses iterasi terus menerus. Proses dari Kurva Koch diawali dari segitiga yang 3 sisinya akan saya sebut garis.  Selajutnya garis tesebut kita pecah menjadi 4 denga skala 1/3. Ulangi kembali prosesnya

Proses Iterasi Kurva Koch

Proses Iterasi Kurva Koch, Sumber math.ubc.ca

Sekarang kita hitung dimensinya

-D=\frac{\log4}{\log1/3}\approx-1,26185

Hilangkan minus, kita dapatkan dimensi dari kurva koch sekitar 1,26185

Dengan alasan yang serupa kurva koch memiliki keliling yang tak hinnga seperti Segitiga Sierpinski . Akan tetapi luas dari kurva koch itu berhingga karena tidak ada proses pengambilan luas seperti Segitiga Sierpinski .

***

Dimensi pecahan bisa kita anggap tingkat kerumitan dari suatu objek. NIlai dimensi Segitiga Sierpinski lebih besar dari kurva Koch, itu artinya Segitiga Sierpinski lebih rumit dari Kurva Koch

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in fractal and tagged , , . Bookmark the permalink.

1 Response to Dimensi Pecahan

  1. Pingback: Paradoks Garis Pantai | Blog Matematika Pak Satria

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s