Minggu lalu, pada salah satu slide yang saya berikan ke siswa, saya berkata

Mmm… sebenernya definisi tesebut kurang tepat, Jarak sebagai panjang garis yang menghubungkan 2 titik sebenermya merupakan salah contoh bentuk jarak yang dinamakan Jarak Euclidean. Ya..jarak ada macam-macam bentuknya, Jarak Euclidean adalah bentuk jarak paling umum, paling biasa.

Dalam bidang diberikan 2 titik dan . Jarak Euclid dari A ke B didefinisikan

Ya..Jarak Euclidean adalah aplikasi dari dalil Phytagoras.

Kita memang mengartikan jarak sebgai panjang jalur terpendek yang menghubungkan 2 titik. Idealnya jalur tersebut berbentuk garis lurus tetapi seringkali kondisi ideal jarang terjadi. Kita belum tentu selalu bisa menghubungkan 2 titik dengan garis lurus

Di atas katanya peta dari tengah kota Manhattan. Bener enggaknya jangan tanya saya, belum pernah kesana soalnya 🙂 . Tertata rapih yach kotanya, jalananya membentuk grid-grid kotak. Bayangkan kita jadi supir taksi di Manhattaan, pergerakan kita hanya terbatas utara-selatan dan timur- barat tidak bisa bergerak diagonal. Bagaikan benteng pada catur yang hanya bisa bergerak lurus maju-mundur dan kanan kiri. Nah..dari pergerakan taksi di Manhattan, kita bisa membentuk geometri yang dinamakan Geometri Taksi ( Taxicab Goemetry)

Dalam geometri taksi, jalur merah, hijau dan kuning ketiganya adalah jalur terpendek yang panjangnya 12 sedangkan jalur hijau adalah jalur Euclidean dengan panjang dan ini adalah jalur tunggal satu-satunya.

Secara formal jarak Taksi, didefinisikan sebagai berikut

Dalam bidang diberikan 2 titik dan . Jarak Taksi dari A ke B didefinisikan

Contoh: Jarak taksi dari P(2, 3) ke Q ( -6, 7) adalah

Lingkaran pada Geometri Taksi.

Kita tahu bahwa lingkaran didefinisikan himpunan semua titik yang berjarak sama ke titik pusat. Jika mengunakan konsep jarak taksi maka rupa lingkaran akan menjadi

Berbentuk belah ketupat atau persegi yang dirotasi 45° dengan diagonal persegi merupakan diameternya . Nah pertanyaan selajutnya

Berapa nilai pada geometri Taksi?

Kita tahu latex \pi$ didefiniskian sebagai hasil bagi keliling lingkaran dengan diameternya. Misalkan radius lingkaran taksi diatas 1 satuan maka panjang sisinya 2 satuan ( Ingat, pakai jarak taksi). Karena ada 4 sisi maka keliling lingkaran taksi adalah 8 satuan. So..disimpulkan latex \pi$ pada geometri taksi bernilai

***

Baik Jarak Euclidean dan jarak taksi keduanya memiliki ciri-ciri yang sama

1. Jarak bernilai nol, jika kita gak kemana-mana Err.. ini mah jelas banget you don’ts ay
2. Jarak dari A ke B, dibalik-bolak tetep sama tentu dengan catatan jalur yang dipilih juga sama
3. Kamu pergi dari A ke B tetapi di tengah jalan kamu mampir dulu ke X maka ada 2 kemungkinan jaraknya akan tetep sama jika kamu langsung dari A ke B atau jarak menjadi lebih jauh karena kamu mampir dulu ke X. Akan tetapi mustahil jaraknya menjadi lebih dekat,ya kan?

Nah..dari 3 ciri-ciri diatas, matematikawan menyimpulkan bahwa definisi formal jarak adalah

Definisi: Diberikan himpunan S dan fungsi J yang memasangkan setiap dua titik di S (a,b∈S) ke bilangan real non-negatif. Fungsi J dikatakan jarak jika memenuhi aksioma-aksioma berikut

1. J(a,b)=0 jika hanya jika a=b
2. J(a,b) = J(b,a)
3. J(a,b) ≤ J(a,c) + J(c,b)

Jadi dalam matematika, yang namanya jarak adalah fungsi yang memenuhi 3 aksioma di atas. kita tahu bahwa jarak tidak bisa bernilai negatif. Tidak ada orang yang berkata

Jarak kota A ke kota B itu -75 Km

Akan tetapi kalo kita perhatikan 3 aksioma jarak, tidak ada yang melarang nilai negatif lalu artinya jarak sebenarnya boleh bernilai negatif? Tetap tidak bisa karena 3 aksioma tersebut berakibat jarak mustahil bernilai negatif

Yang berakibat

0 ≤ J(a,b)

Jadi jarak mustahil bernilai negatif meskipun secara eksplisit aksioma jarak tidak melarang nilai negatif