Metode sederhana mencari akar-akar persamaan kuadrat

  • Tentukan akar-akar darix^{2}+5x+6

Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat diatas dengan metode pemfaktoran, biasanya saya meminta peserta didik saya untuk mencari Errr lebih tepat dikatakan menebak-nebak 2 bilangan p dan q yang dijumlah hasilnya 5 dengan kata lain (p+q=5) dan hasil kalinya 6 atau ( p×q=6) selanjutnya p dan q kita ubah tanda diperolehlah akar-akar dari persamaa kuadrat diatas. Dengan mudah kita tahu bahwa p dan q yang kita inginkan adalah p=3 dan q=2, tinggal kita ubah tanda menjadi -3 dan -5 sehinga menjadi akar-akar dari x^{2}+5x+6=0

Nah..instruksi diatas bisa sedikit kita modif sebagai berikut akar-akar dari x^{2}+5x+6 adalah a dan b yang memenuhi a+b=-5 (disini kita ganti tanda) dan a×b=6 (tidak perlu ganti tanda karena a×b=-a×-b )

Secara umum jika x^{2}+bx+c memiliki akar p dan q maka berlaku p+q=-b dan p×q=c.

  • Tentukan akar-akar dari 2x^{2}+2x-1=0

Supaya koefisien x^2 menjadi 1, kita bagi dengan 2 sehingga menjadi

x^{2}+x-\frac{1}{2}

Sekarang kita tingal menebak-nebak p dan q yang memenuhi p+q=-1 dan pq=-\frac{1}{2}.

Hayo…bisa gak menebak-nebak berapa p dan q yang memenuhi syarat diatas? Saya sendiri juga gak bisa haha, Biasanya kalo sulit ditebak-tebak, saya akan ganti metode, pakai rumus ABC.

{\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

Nah..masalahnya rumus ABC itu cukup rumit, sulit dihapal, Saya aja yang sarjana dan guru Matematika masih sering lupa. Selain cukup rumit, rumus ABC diturunkan dari metode melengkapi kuadrat sempuna, metode ini juga sulit dipahami oleh anak SMP karena rumus ABC dipelajari ditingkat SMP.

Nah..tapi itu dulu, Pada desember 2019 yang lalu, Po-Shen Loh, Profesor Matematika di Universitas Carnegie Mellon menemukan metode bagaimana kita menebak-nebak nilai p dan q. Eh…kalo ada metodenya bukan tebak-tebakan namanya 🙂

Seperti yang sudah ditulis diatas, kita akan mencari nilai p dan q yang memenuhi p+q=-1 dan pq=-\frac{1}{2}.

Metode yang ditulis oleh Prof Loh, pertama-tama, p+q kita bagi 2

\frac{p+q}{2}=-\frac{1}{2}

Nah.. -½ adalah rata-rata dari p dan q, artinya terletak tepat di tengah-tengah antara p dan q. Jika kita asumsikan p≤q maka p≤-½≤q

Karena tepat ditengah maka jarak p ke -½ sama dengan jarak -½ ke q. Sebut saja jaraknya z diperoleh

p+z=-\frac{1}{2}\rightarrow p=-\frac{1}{2}-z

q-z=-\frac{1}{2}\rightarrow q=-\frac{1}{2}+z

Karena pq=-\frac{1}{2}.maka

\left(-\frac{1}{2}-z\right)\left(-\frac{1}{2}+z\right)=-\frac{1}{2}

\frac{1}{4}-z^{2}=-\frac{1}{2}

\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=z^{2}

\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=z^{2}

Nilai z sudah kita peroleh, maka sekarang kita bisa menentukan nilai p dan q

p=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}

q=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}

So..disimpulkan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^{2}+2x-1=0 adalah \frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} dan \frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}

The Math

Ini adalah penjelasan matematis dari metode yang ditawarkan oleh Prof Loh

Diberikan persamaan kuadarat

x^{2}+bx+c=0

Assumsi akar-akarnya adalah p dan q maka akan memenuhi p+q=b dan pq=c.

Nilai tengah antara p dan q adalah \frac{p+q}{2}=-\frac{b}{2}. Karena ditengah tengah maka p ke -\frac{b}{2} dan -\frac{b}{2} ke q berjarak sama, sebut saja jaraknya z. Itu artinya p dan q akan berbentuk

-\frac{b}{2}\pm z

Karena pq=c maka

\left(-\frac{b}{2}+z\right)\left(-\frac{b}{2}-z\right)=c

\frac{b^{2}}{4}-z^{2}=c

\frac{b^{2}}{4}-c=z^{2}

\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}=z

So..disimpulkan nilai p dan q adalah

-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}

Metode mencari akar-akar dari persamaan kuadrat yang ditawarkan oleh Prof Loh, sangatlah sederhana, intuitif mudah dipahami.

Kita hanya diminta mencari z jarak akar-akar ke -\frac{b}{2} dengan mengunakan fakta bahwa hasil kali akar adalah c. Jika nilai z didapat maka dengan mudah kita memperoleh nilai-nilai akar.

Lihat sederhanakan? Tanpa perlu menghapal rumus.

Nah,,,sekarang bagaimana kalau persamaan kuadratnya berbentuk ax^{2}+bx+c=0?

Ya..gampang aja tinggal bagi dengan a diawal langkah sehingga menjadi x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}, langkah selanjutnya tetep sama dan bentuk akarnya akan menjadi

{\displaystyle \frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{2a}}=\frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

Ya..ujung-ujung kita tetep mendapatkan rumus ABC tetapi dengan pendekatan, penurunan rumus yang lebih sederhana, lebih intuitif, lebih mudah dipahami

Sangat jarang ada Matematikawan seperti Prof Loh yang melakukan terobosan pada matematika dasar tingkat sekolah. Matematika pada tingkat sekolah itu matematika jadul yang metode dan rumus-rumusnya sudah ada ratusan bahkan ribuan tahun lalu (btw rumus phytagoras sudah ada di jaman Firaun). Rumus ABC yang kita gunakan saat ini daiambil dari buku La Géométrie karya René Descartes yang dipublikasikan tahun 1637. Saya pikir sudah tidak bakal ada lagi hal baru pada matematika dasar tapi saya keliru. Sebagai guru matematika SMA, saya tidak sabar mengajarkan metode ini kepada anak-anak didik saya

Referensi: A Simple Proof of the Quadratic Formula

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar and tagged , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Metode sederhana mencari akar-akar persamaan kuadrat

  1. Jauharry says:

    ini akan kurang diminati bagi penggiat dibidang bimbel 😀

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s