Identitas Cassini

Sudah lama saya tidak membahas bilangan Fibbonacci, buat yang belum tahu bbilangan tersebut berawal dari 0 dan 1 dan bilangan selanjutnya adalah penjumlahan 2 bilangan sebelumnya secara berutatan. Secara umum, jika F_n adalah bilangan Fibonacci ke-n maka F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}. Denagan aturan sederhana ini maka kita mendapat barisan fibonacci sebagai berikut

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Fibonacci memiliki sifat yang menarik, silahkan perhatika tabel berikut

\begin{array}{ccc} n & F_{n}^{2} & F_{n-1}\cdot F_{n+1}\\ 1 & 1^{2}=1 & 0\cdot1=0\\ 2 & 1^{2}=1 & 1\cdot2=2\\ 3 & 2^{2}=4 & 1\cdot3=3\\ 4 & 3^{2}=9 & 2\cdot5=10\\ 5 & 5^{2}=25 & 3\cdot8=24\\ 6 & 8^{2}=64 & 5\cdot13=65 \end{array}

Sudah terlihat polanya? Tampalnya kuadrat dari suatu bilangan Fibonacci dan hasil kali bilangan Fibonacci sebelum dengan sesudahnya selalu berbeda 1. Kalau kita perharikan lagi untuk n ganjil maka F_{n}^{2} lebih besar 1 daripada F_{n-1}\cdot F_{n+1}. Sedangkan untuk n genap berlaku sebaliknya.

Secara aljabar hal tersebut dapat ditulis

F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

Identitas diatas dianamakan Identitas Cassini karena pertamakali dipublikasilan oleh Astronomer Italia Gian Domenico Cassini pada tahun 1680

Sekarang mari kita buktikan dengan metode Induksi Matematika.

Langkah Dasar

Untuk n=1 maka

F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot1-1^{2}=-1=(-1)^{1}

Terbukti benar untuk n=1

Langkah Induksi

Ambil n=k, diasumsikan benar untuk

F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}

Akan dibuktikan, untuk n=k+1 maka berlaku

F_{(k+1)-1}\cdot F_{(k+1)+1}-F_{(k+1)}^{2}=(-1)^{1}

Bukti

F_{k}\cdot F_{k+2}-F_{(k+1)}^{2}

Karena F_{k+2}=F_{k}+F_{k-1}, diperoleh

F_{k}\cdot (F_{k}+F_{k-1})-F_{(k+1)}^{2}

F_{k}F_{k+1}+F_{k}^{2}-F_{k+1}^{2}

F_{k}F_{k+1}+F_{k}^{2}-F_{k+1}\left(F_{k}+F_{k-1}\right)

F_{k}F_{k+1}+F_{k}^{2}-F_{k}F_{k+1}-F_{k-1}F_{k+1}

F_{k}^{2}-F_{k-1}F_{k+1}

\left(-1\right)\left(F_{k-1}F_{k+1}\right)

Berdasarkan asumsi F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}, diperoleh

\left(-1\right)\left(-1\right)^{k}=\left(-1\right)^{k+1}

Langkah induksi telah lengkap maka disimpulkan Identitas Cassini terbukti benar

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar and tagged , . Bookmark the permalink.

2 Responses to Identitas Cassini

  1. dwimp3 says:

    aslinya aljabar sederhana pak ya? tapi hasilnya bisa digunakan untuk menemukan hasil yang hebat.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s