Ukuran bilangan Kompleks

pada video diatas saya menjelakan bahwa bilangan real \mathbb{R} memiliki kardinalitas (ukuran) yang lebih besar daripada bilangan asli \mathbb{N}.

Nah…sekarang bagaimana dengan bilangan kompleks \mathbb{C}?

Intuisi kita akan mengatakan bahwa ukuran \mathbb{C} lebih besar daripada \mathbb{R}. Karena bilangan kompleks berbentuk a+bi dengan a, b adalah bilangan real dan i=\sqrt{-1}. Dengan kata lain bilangan kompleks terdiri dari sepasang bilangan real. Jika kita lihat representatif geometrisnya, bilangan kompleks berbentuk bidang, dimensi-2

Sumber: wikipedia

Sedangkan bilangan real berbentuk garis, dimensi-1

Sumber: briliant.org

Dengan fakta-fakta diatas, tentunya intuisi kita kan menyimpulkan bilangan kompleks memiliki kardinalitas yang lebih besar daripada bilangan real. Sayang kesimpulan tersebut keliru

Bilangan kompleks mempunyai kardinalitas yang sama besar dengan bilangan real

Untuk membuktikan pernyataan diatas kita harus menujukkan ada fungsi bijektif yang menghubungkan keduanya. Dalam bahasa yang lebih sederhana, kita harus menunjukkan cara memasangkan semua bilangan kompleks ke real, begitupula sebaliknya. Semuanya harus berpasangan, tidak ada yang jomblo 😊

Kita akan menunjukkan bahwa bahwa interval [o,1) memiliki kardinalitas yang sama dengan [o,1) \times [0,1)

Ambil bilangan kompleks z=x+yi dengan x=0,a_1a_2a_3... dan y=0,b_1b_2b_3.., yang merupakan ekspansi desimal.

Didefinisikan fungsi f(z)=0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3...

Tentu saja f(z) hasilnya real dan bijektif serta bisa diperumum kesemua bilangan kompleks

So..disimpulkan bilangan real dan kompleks punya kardinalitas yang sama

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex and tagged , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s