pada video diatas saya menjelakan bahwa bilangan real memiliki kardinalitas (ukuran) yang lebih besar daripada bilangan asli .

Nah…sekarang bagaimana dengan bilangan kompleks ?

Intuisi kita akan mengatakan bahwa ukuran lebih besar daripada . Karena bilangan kompleks berbentuk dengan adalah bilangan real dan . Dengan kata lain bilangan kompleks terdiri dari sepasang bilangan real. Jika kita lihat representatif geometrisnya, bilangan kompleks berbentuk bidang, dimensi-2

Sedangkan bilangan real berbentuk garis, dimensi-1

Dengan fakta-fakta diatas, tentunya intuisi kita kan menyimpulkan bilangan kompleks memiliki kardinalitas yang lebih besar daripada bilangan real. Sayang kesimpulan tersebut keliru

Bilangan kompleks mempunyai kardinalitas yang sama besar dengan bilangan real

Untuk membuktikan pernyataan diatas kita harus menujukkan ada fungsi bijektif yang menghubungkan keduanya. Dalam bahasa yang lebih sederhana, kita harus menunjukkan cara memasangkan semua bilangan kompleks ke real, begitupula sebaliknya. Semuanya harus berpasangan, tidak ada yang jomblo 😊

Kita akan menunjukkan bahwa bahwa interval memiliki kardinalitas yang sama dengan

Ambil bilangan kompleks dengan dan , yang merupakan ekspansi desimal.

Didefinisikan fungsi

Tentu saja hasilnya real dan bijektif serta bisa diperumum kesemua bilangan kompleks

So..disimpulkan bilangan real dan kompleks punya kardinalitas yang sama