Konon katanya jenis bilangan yang pertama kali dipahami oleh manusia adalah bilangan asli atau orang Jawa bilang Natural Number. Dengan bilangan asli nenek moyang kita mampu membilang, menghitung jumlah hewan buruan atau ternak.

Waktu SD, kita diajarkan bahwa bilangan asli dimulai dari 0,1,2,3 dst tanpa pernah dijelaskan dst itu syarat atau aturannya apa?

• Mengapa adalah bilangan asli?
• Mengapa 101,01 dan bukan bilangan asli?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita bisa saja mendefinisikan bilangan asli sebagai berikut

Jadi bilangan asli adalah hasil penjumlahan 1 ke dirinya sendiri sebanyak n kali. Permasalahan dari definisi tersebut apa yang dimaksud dengan n? Kalo kita mengatakan n adalah bilangan asli maka itu adalah circular reasoning , mbulet, muter-muter disitu. Ibarat mau bikin nasi goreng dengan bahan yang dibutuhkan juga nasi goreng.

Berarti definisi diatas gak bisa dipakai, bagaimana kalo sekarang definisinya menjadi.

={x|x=0 atau ada sedemikian hingga x=y+1}

Definisi yang sederhana, kita membangun bilangan asli hanya dengan nol, satu dan operasi penjumlahan. Nah..sayangnya definisi ini gagal menjawab apakah 101,01 bilangan asli atau bukan? Kita tahu bahwa 101,01=100,01+1, lalu bagaimana memverifikasi 100,01 bukan bilangan asli menggunakan definisi di atas.

Selain itu bilangan real juga memenuhi definisi di atas, ambil sembarang maka kita selalu bisa menuliskan r=(r-1)+1 untuk suatu . Padahal bilangan real belum tentu bilangan asli.

Kita gagal membangun bilangan asli dari 0 dan 1 lalu dengan apa kita membangun bilangan asli?

Dengan himpunan kosong

Sebelumnya perlu kalian ketahui dan adalah 2 hal yang berbeda. Yang pertama adalah himpunan tanpa anggota sedangkaan yang kedua adalah himpunan dengan 1 anggota yaitu

Selanjutnya kita akan menggunakan successor atau penerus dari suatu himpunan

Untuk sembarang himpunan didefinisikan penurus dari

Contoh:

• Jika maka .
• Jika maka

Sekarang kita definisikan dan

Selanjutnya

• punya 2 elemen, disebut 2
• punya 3 elemen, disebut 3
• punya 4 elemen, disebut 4
• Dst

Sekarang bisa disimpulkan definisi dari bilangan asli adalah

={x| atau ada sedemikian hingga }

Dengan definisi ini, sekarang jelas mengapa 101,01 bukan bilangan asli karena bukan penerus dari bilangan asli sebelumnya.

Boleh dibilang mindblowing konstruksi dari bilangan asli karena sesuatu yang ada dikontruksikan dari ketiadaan

referensi dari sini