Membuat Bilangan Asli



Konon katanya jenis bilangan yang pertama kali dipahami oleh manusia adalah bilangan asli atau orang Jawa bilang Natural Number. Dengan bilangan asli nenek moyang kita mampu membilang, menghitung jumlah hewan buruan atau ternak.

\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}

Waktu SD, kita diajarkan bahwa bilangan asli dimulai dari 0,1,2,3 dst tanpa pernah dijelaskan dst itu syarat atau aturannya apa?

  • Mengapa 10^{1000} adalah bilangan asli?
  • Mengapa 101,01 dan \frac{2}{5} bukan bilangan asli?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita bisa saja mendefinisikan bilangan asli sebagai berikut

\mathbb{N}=\{x|x=1+1+1+\cdots+1 \}

Jadi bilangan asli adalah hasil penjumlahan 1 ke dirinya sendiri sebanyak n kali. Permasalahan dari definisi tersebut apa yang dimaksud dengan n? Kalo kita mengatakan n adalah bilangan asli maka itu adalah circular reasoning , mbulet, muter-muter disitu. Ibarat mau bikin nasi goreng dengan bahan yang dibutuhkan juga nasi goreng.

Berarti definisi diatas gak bisa dipakai, bagaimana kalo sekarang definisinya menjadi.

\mathbb{N}={x|x=0 atau ada y \in \mathbb{N} sedemikian hingga x=y+1}

Definisi yang sederhana, kita membangun bilangan asli hanya dengan nol, satu dan operasi penjumlahan. Nah..sayangnya definisi ini gagal menjawab apakah 101,01 bilangan asli atau bukan? Kita tahu bahwa 101,01=100,01+1, lalu bagaimana memverifikasi 100,01 bukan bilangan asli menggunakan definisi di atas.

Selain itu bilangan real juga memenuhi definisi di atas, ambil sembarang r \in \mathbb{R} maka kita selalu bisa menuliskan r=(r-1)+1 untuk suatu (r -1)\in \mathbb{R}. Padahal bilangan real belum tentu bilangan asli.

Kita gagal membangun bilangan asli dari 0 dan 1 lalu dengan apa kita membangun bilangan asli?

Dengan himpunan kosong \emptyset

Sebelumnya perlu kalian ketahui \emptyset dan \{\emptyset\} adalah 2 hal yang berbeda. Yang pertama adalah himpunan tanpa anggota sedangkaan yang kedua adalah himpunan dengan 1 anggota yaitu \emptyset

Selanjutnya kita akan menggunakan successor atau penerus dari suatu himpunan

Untuk sembarang himpunan A didefinisikan penurus dari A

S(A)=A\cup \{A\}

Contoh:

  • Jika A=\emptyset maka S(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset\}= \{\emptyset\}.
  • Jika A= \{p,q\} maka S(\{p,q\} )=\{p,q\}\cup\{\{p,q\}\}=\{p,q\{\{p,q\}\}

Sekarang kita definisikan \emptyset=1 dan S(\emptyset )=1

Selanjutnya

  • S(1)=1\cup\{1\}= \{0\}\cup\{1\}=\{0,1\} punya 2 elemen, disebut 2
  • S(2)=2\cup\{2\}= \{0,1\}\cup\{2\}=\{0,1,2\} punya 3 elemen, disebut 3
  • S(3)=3\cup\{3\}= \{0,1,2\}\cup\{3\}=\{0,1,2,3\} punya 4 elemen, disebut 4
  • Dst

Sekarang bisa disimpulkan definisi dari bilangan asli adalah

\mathbb{N}={x| x=\emptyset atau ada y \in \mathbb{N} sedemikian hingga x=S(y)}

Dengan definisi ini, sekarang jelas mengapa 101,01 bukan bilangan asli karena bukan penerus dari bilangan asli sebelumnya.

Boleh dibilang mindblowing konstruksi dari bilangan asli karena sesuatu yang ada dikontruksikan dari ketiadaan

referensi dari sini

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s