Mana yang lebih besar?

Mana yang lebih besar 2020^{2021} atau 2021^{2020}?

Kita tidak bisa menjawab soal di atas dengan kalkulator karena layarnya tidak akan muat bahkan google sekalipun menganggap 2020^{2021} itu tak hingga.

Untuk menjawab soal diatas, kita harus melakukan sedikit observasi

  • 1+\frac{1}{1}=1
  • (1+\frac{1}{2})^2=2,25
  • (1+\frac{1}{3})^3=2,370
  • (1+\frac{1}{4})^4=2,441
  • (1+\frac{1}{5})^5=2,488

Terlihat nilainya semakin lama semakin membesar, jika iterasi itu terus kita lakukan, kita akan mendapatkan nilai limit

\lim_{n \to \infty }(\,1+\frac{1}{n})\,^n\approx 2,71828=e

Bilang e sering disebut sebagai bilangan Euler. Nah kita menggunakan bilangan ini, untuk menjawab soal di atas.

Berdasarkan fakta diatas, diperoleh

(\,1+\frac{1}{2020})\,^{2020}<e

(\,\frac{2021}{2020})\,^{2020}<e

\frac{2021^{2020}}{2020^{2020}}<e

2021^{2020}<2020^{2020}\cdot e (i)

Karena e<2020 maka

2020^{2020}\cdot e<2020\cdot2020^{2020}

2020^{2020}\cdot e<2020^{2021} (ii)

Dari (i) dan (ii), serta sifat transitif pada ketidaksamaan, disimpulkan

2021^{2020}<2020^{2021}

Jadi 2020^{2021} lebih besar daripada 2021^{2020}

Bentuk Umum

Dengan cara yang sama dengan yang diatas, dapat kita simpulkan

Jika e<n maka berlaku

(n+1)^n<n^{n+1}

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in soal and tagged , , . Bookmark the permalink.

43 Responses to Mana yang lebih besar?

  1. danioyo says:

    Saya coba pake logika pak. Saya hitung aja (2021^2020)/(2020^2021)
    Kalau hasilnya dibawah 1, artinya yg penyebut lebih besar. Kalau hasilnya lebih dari 1, artinya yg pembilang lebih besar.

    =(2021^2020) / (2020^2021)
    =(2021^2020) / (2020^2020) (2020)
    =(2021/2020)^2020 / 2020
    =1.0^2020 / 2020

    Sudah pasti hasilnya di bawah 1, artinya 2020^2021 lebih besar dari 2021^2020.

  2. Margaretha Aprilliana S XIPS 1

  3. Hafizha Maharani X IPS 2 says:

    Penjelasan lengkap dan mudah di mengerti

  4. Hafizha Maharani says:

    penjelasan lengkap dan mudah dimengerti

  5. isaura lunika says:

    isaura lunika – X IPS 1

    tanggapan: materi diatas mengenai pembuktian (N+1) n kuadrat lebih kecil dari n pangkat n+1

  6. Thrinova putri X IPS 2 says:

    penjelasannya mudah untuk dipahami

  7. Vanya Malaika X IPS 2 says:

    Penjelasan singkat dan gampang di mengerti

  8. Garth Moreno Julianto says:

    Penjelasannya mudah dipahami
    Garth Moreno Julianto X IPS 1

  9. Finnetha Kamaniya X ips 2 says:

    penjelasannya singkat tetapi mudah dimengerti đź‘Ť

  10. Stella Winata says:

    soal yang menarik dan penjelasannya mudah dimengerti

  11. Unik dan mudah di pahami

    M.Abian X-IPA 3

  12. Pradhika Lazuardie Setiawan says:

    Nama : Pradhika Lazuardie Setiawan
    Menurut saya penjelasannya sangat menarik dan mudah untuk dimengerti.dari sini saya bisa sedikit mengerti mengenai bilangan euler dan tidak semua bilangan berpangkat bisa dihitung secara manual maupun melalui kalkulator.

  13. Roberto Charles Stefanus says:

    Roberto Charles X IPA 2
    Penjelasannya sangat menarik dan mudah untuk dipahami

  14. Ngurah Putu X IPA 1 says:

    soal yang menarik, membuat pembaca tertarik dengan jawaban dari soal tersebut. penjelasannya dapat dimengerti, sehingga menambah pengetahuan.

  15. Audrey N says:

    Audrey Novelia Kurniawan X IPA 1
    Penjelasan sangat bagus dan menarik

  16. Boby Djani says:

    Sangat Menarik.

    Boby Djani X IPA 2

  17. Gabriel Benedict Lesmana X-IPA 3 says:

    Penjelasannya menarik, karena saya sebelumnya belum tahu mengenai bisa adanya hubungan euler dengan soal pertidaksamaan seperti itu. Dulu yang saya ketahui dari euler hanya dari matematika kelas X mengenaik grafik, dan video ini yang saya sarankan juga bapak menonton karena cukup menarik:

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s