Penjumlahan sin kuadrat

Yeaah..ini tulisan pertama di 2022. Semoga aja di tahun ini saya lebih aktif ngeblog, amiin 😊

Kali ini kita bahas trigonometri. Perhatikan deret trigonometri berikut:

\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\cdots+\sin^2(88^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})=\cdots

Untuk menjawabnya, kita mengunakan 2 identitas trigonometri.

(i) \sin \alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)

(ii) \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Selajutnya deret tersebut kita susun ulang. Suku pertama dijumlahkan dengan suku terakhir, suku kedua dengan suku kedua dari terakhir begitu seterusnya

\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(89^{\circ})

\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})

\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(87^{\circ})

\vdots

\sin^2(44^{\circ})+\sin^2(46^{\circ})

\sin^2(45^{\circ})

Kita mendapatkan \sin^2(45^{\circ})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}=0,5 sebagai titik tengah. Nilai ini kita simpan dulu.

Selanjutnya dengan menggunakan (i) lalu (ii), diperoleh

\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(89^{\circ})\rightarrow \sin^2(1^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-89^{\circ})\rightarrow \sin^2(1^{\circ})+\cos^2(1^{\circ})=1

\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})\rightarrow \sin^2(2^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-88^{\circ})\rightarrow \sin^2(2^{\circ})+\cos^2(2^{\circ})=1

\vdots

\sin^2(44^{\circ})+\sin^2(46^{\circ})\rightarrow \sin^2(44^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-46^{\circ})\rightarrow \sin^2(44^{\circ})+\cos^2(44^{\circ})=1

Kita mendapatkan 1 sebanyak 44. So..disimpulkan

\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\cdots+\sin^2(88^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})=44\cdot 1+0,5=44,5

Mm..menurut saya, soal diatas punya langkah-langkah penyelesaian yang cukup cantik.

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in soal and tagged , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s