Penjumlahan sin kuadrat

Yeaah..ini tulisan pertama di 2022. Semoga aja di tahun ini saya lebih aktif ngeblog, amiin 😊

Kali ini kita bahas trigonometri. Perhatikan deret trigonometri berikut:

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\cdots+\sin^2(88^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})=\cdots$

Untuk menjawabnya, kita mengunakan 2 identitas trigonometri.

(i) $\sin \alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)$

(ii) $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Selajutnya deret tersebut kita susun ulang. Suku pertama dijumlahkan dengan suku terakhir, suku kedua dengan suku kedua dari terakhir begitu seterusnya

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(89^{\circ})$

$\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})$

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(87^{\circ})$

$\vdots$

$\sin^2(44^{\circ})+\sin^2(46^{\circ})$

$\sin^2(45^{\circ})$

Kita mendapatkan $\sin^2(45^{\circ})=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}=0,5$ sebagai titik tengah. Nilai ini kita simpan dulu.

Selanjutnya dengan menggunakan (i) lalu (ii), diperoleh

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(89^{\circ})\rightarrow \sin^2(1^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-89^{\circ})\rightarrow \sin^2(1^{\circ})+\cos^2(1^{\circ})=1$

$\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})\rightarrow \sin^2(2^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-88^{\circ})\rightarrow \sin^2(2^{\circ})+\cos^2(2^{\circ})=1$

$\vdots$

$\sin^2(44^{\circ})+\sin^2(46^{\circ})\rightarrow \sin^2(44^{\circ})+\cos^2(90^{\circ}-46^{\circ})\rightarrow \sin^2(44^{\circ})+\cos^2(44^{\circ})=1$

Kita mendapatkan 1 sebanyak 44. So..disimpulkan

$\sin^2(1^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\sin^2(2^{\circ})+\cdots+\sin^2(88^{\circ})+\sin^2(88^{\circ})=44\cdot 1+0,5=44,5$

Mm..menurut saya, soal diatas punya langkah-langkah penyelesaian yang cukup cantik.

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

This entry was posted in soal and tagged deret, soal, trigonometri. Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	Fadhlan on Logaritma itu keliru
	Identitas Euler deng… on Persamaan Matematika yang pali…
	Himpunan kosong itu… on Himpunan kosong termuat diseba…
	Pembuktian Prinsip P… on Induksi matematika
	Pembuktian Prinsip P… on Pembuktian dengan kontradiksi