Pembuktian tidak ada bilangan asli diantara nol dan satu

Hal yang menarik dari Matematika atau menyebalkan tergantung sudut pandang kita. Matematika selalu menuntut pembuktian bahkan kepada sesuatu yang sudah teramat jelas, yang terang benerang.

Teorema: Tidak ada bilangan asli diantara nol dan satu.

Bilangan asli itu \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4, \cdots\}, dimulai dari nol dilanjutkan ke-1. Jelas banget tidak ada bilangan asli diantara keduanya, anak SD pun tahu gak perlu dibuktikan. Namun dalam matematika, selama itu bukan aksioma maka hal tersebut harus dibuktikan.

Untuk membuktikan teorema diatas kita menggunakan prinsip pengurutan baik well-ordering priciple

Prinsip pengurutan baik: Setiap himpunan tak kosong yang berisikan bilangan asli mempunyai elemen terkecil.

Diberikan S=\{n\in \mathbb{N}| 0<n<1\}, himpunan yang berisikan bilangan-bilangan asli diantara nol dan 1.

Berdasarkan prinsip pengurutan baik, himpunan S mempunyai elemen terkecil sebut saja k dengan

0<k<1

Berdasarkan teorema ini maka

0<k^2<k<1

Itu berarti k^2 \in S tapi k^2<k<1 yang kontradiksi dengan asumsi k sebagai elemen terkecil di S.

Dapat disimpulkan S=\emptyset, dengan kata lain tidak ada bilangan bulat diantara nol dan satu.

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan and tagged , , . Bookmark the permalink.

1 Response to Pembuktian tidak ada bilangan asli diantara nol dan satu

  1. Pingback: Pembuktian Prinsip Pengurutan yang Baik | Blog Matematika Pak Satria

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s